数论

数论

数论素有“数学皇后”的美称。由于其形式简单，意义明确，所用知识不多而又富于技巧性，千姿百态，灵活多样。有人曾说：“用以发现数学天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。”因此在理念的国内外数学竞赛中，几乎都离不开数论问题，使之成为竞赛数学的一大重要内容。 1. 基本内容

竞赛数学中的数论问题主要有： （1） 整除性问题；

（2） 数性的判断（如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等）； （3） 余数问题； （4） 整数的分解与分拆； （5） 不定方程问题；

（6） 与高斯函数[x]有关的问题。 有关的基本知识：

关于奇数和偶数有如下性质：

奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数. 两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）.

若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个. 奇数?奇数=奇数；奇数?偶数=偶数；偶数?偶数=偶数.

若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个偶数.

若a是整数，则a与a有相同的奇偶性；若a、b是整数，则a?b与a?b奇偶性相同。

关于整数的整除性：

1aa；2若ab,bc，3若ab,bc，设a,b,c是整数，则○○则ac；○则对任意整数m,n，有abm?cn.

若在等式?ai??bi中，除某一项外，其余各项都能被c整除，则这一项也能被ci?1i?1mn整除.

若(a,b)?1，且abc，则ac.若(a,b)?1，且ab,bc，则abc. 设p是素数，若pab，则pa或pb. 关于同余：

若a?0(modm)，则ma.

a?b(modm)?a,b分别被m除，余数相同.

同余具有反身性:a?a(modm)、对称性:若a?b(modm)，则b?a(modm)若a?b,b?c(modm)，则a?c(modm).

2. 方法评析

、传递性：

数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。因此数论问题的方法多样，技巧性高，富于创造性和灵活性。在竞赛数学中，解决数论问题的常用方法有因式分解法、估值法、调整法、构造法、反证法、奇偶分析法等等。 2.1 因式（数）分解

例1 证明无穷数列10001，100010001，??中没有素数。 证明：设an?100010001?1，则 ???????n个1an?1?10?10???10484(n?1)104n?1=4 10?1当n为偶数，设n?2k，

108k?1(108)k?1108?1an=4??

10?1108?1104?1所以an为合数。

当n为奇数，设n?2k+1，

（2k+1）2k?12k?1104?1（102）?1（102）?1an==?

104?1102?1102?1

所以an为合数。

评析：对n分奇偶，分情况讨论，问题变得清晰易证。同时注意， 若n为奇数时，xn?yn可分解因式。

例2 证明对任意整数n?1，n4?4n不是素数。

证明：当n为偶数时，n4?4n为偶数，所以n4?4n为合数； 当n为奇数，设n?2k?1，则

n4?4n=n4?42k?1?n4?4?(2k)4

4=n4?4n2(k22?)?4k(2?)n2k4k(22)

22?(2n?)k ?[n2?2(k22)2?]n42k(22)?[n2?2(k22?)n?2k?2n]2?[所以n4?4n为合数。

22]评析：对n适时地进行奇偶性讨论，不失为一种证明思路。同时 应注意，x4?y4可作因式分解。

例3 设正整数a,b,c,d满足ab?cd。证明：a?b?c?d不是素数。 证明：由于ab?cd，则设

adu??，其中(u,v)?1，则 cbva?pu,c?pvd?qu,b?qv

故a?b?c?d=pu?qv?pv?qu?p(u?v)?q(u?v)?(p?q)(u?v) 所以为合数。

评析：此题中采用方法可扩展如下： 若

ad?，不妨设gcd(a,c)?s,gcd(d,b)?t,则 cba?a1s,c?c1sb?d1t,b?b1t，且gcd(a1,c1)?gcd(d1,b1)?1

由于

a1sd1tad，所以1?1，即a1b1=c1d1 ?c1sb1tc1b1所以a1d1c1,gcd(a1,c1)?1，故a1d1。同理可证d1a1，所以a1=d1 同理可得c1=b1

例4 证明：若正整数a,b满足2a2?a?3b2?b，则a?b和2a?2b?1都是完全平方数。

证明： 因2a2?2b2?a?b?b2，即(a?b)(2a?2b?1)?b2 故只需证a?b和2a?2b?1互质。 设gcd(a?b,2a?2b?1)?d,即证d?1 则da?b,d2a?2b?1

由于d2b2，所以db，又da?b，则da。所以d1，故d?1得证。 故a?b和2a?2b?1互质，所以a?b和2a?2b?1都是完全平方数。 评析：有时，适当的因式分解可以使问题简化，以证得结论。

例5 一个正整数，加上100为一个完全平方数，若加上168则为另一个完全平方数，求这个数。 解：设这个数为x，则

2??x?100?a 其中a,b?N ?2??x?168?b（注：限定正的可减少讨论）。

故(b?a)(b?a)?22?17，

从而b?a与b?a则等于把22?17拆开的因数1、2、4、17、34、68.这样就有六种情形。

又由于b?a?b?a，且b?a与b?a同奇偶性，故

?b?a?2 ??b?a?34