解：(1)由f1(－1)＝－a1＝－1得a1＝1， 由f2(－1)＝－a1＋a2＝2，得a2＝3， 又因为f3(－1)＝－a1＋a2－a3＝－3， 所以a3＝5.
(2)由题意得：fn(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(－1)n·n， fn－1(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n1an－1 ＝(－1)n1·(n－1)，n≥2， 两式相减得：
(－1)nan＝(－1)n·n－(－1)n1·(n－1)＝(－1)n(2n－1)，
得当n≥2时，an＝2n－1，又a1＝1符合，所以an＝2n－1(n∈N*)． an＋1
(3)证明：令bn＝＝n，
2
11111111则S＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
bnbn＋1bn＋2bnk－1nn＋1n＋2nk－1
11111111
所以2S＝?n＋nk－1?＋?n＋1＋nk－2?＋?n＋2＋nk－3?＋…＋?nk－1＋n?.(*)
－
－
－
????????
11
当x>0，y>0时，x＋y≥2xy，＋≥2xy11?
所以(x＋y)??x＋y?≥4，
1， xy
114所以＋≥，当且仅当x＝y时等号成立，上述(*)式中，k>7，n>0，n＋1，n＋2，…，
xyx＋y4n（k－1）4444
nk－1全为正，所以2S>＋＋＋…＋＝，
n＋nk－1n＋1＋nk－2n＋2＋nk－3nk－1＋nn＋nk－1
22（k－1）2（k－1）?
所以S>>＝21－k＋1?
1??k＋11＋k－
n23
>2?1－7＋1?＝，得证． ??2
7．(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a2n＋2an，n∈N*，设bn＝log2(an＋1)．
(1)求{an}的通项公式；
111(2)求证：1＋＋＋…＋＜n(n≥2)；
23bn－1cn＋1n
(3)若2cn＝bn，求证：2≤()＜3.
cn
22
解：(1)由an＋1＝a2n＋2an，则an＋1＋1＝an＋2an＋1＝(an＋1)，
由a1＝3，则an＞0，两边取对数得到
log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)2＝2 log2(an＋1)，即bn＋1＝2bn. 又b1＝log2(a1＋1)＝2≠0，
所以{bn}是以2为公比的等比数列． 即bn＝2n.
又因为bn＝log2(an＋1)， 所以an＝22n－1.
1111
(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝2时，左边为1＋＋＝＜2＝右边，此时不等式
236成立；
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
11111111
则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k＋1＜k＋k＋k
2322＋12－122＋12－1
＋…＋
1
＜k＋
2－1
k＋1
＜k＋1＝右边，
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
综上可得：对一切n∈N*，n≥2，命题成立． (3)证明：由2cn＝bn得cn＝n， cn＋1n1＋nn1所以()＝()＝(1＋)n，
cnnn11112
首先(1＋)n＝C0n＋Cn＋Cn2＋…＋ nnn1n1Cknk＋…＋Cnn≥2， nn
1n（n－1）…（n－k＋1）1111其次因为Ck＜≤＝－(k≥2)， nk＝nk！nkk！k（k－1）k－1k11112所以(1＋)n＝C0n＋Cn＋Cn2＋…＋ nnn1n1Cknk＋…＋Cnn， nn
111111＜1＋1＋1－＋－＋…＋－＝3－＜3，
223nn－1n当n＝1时显然成立．所以得证．
an－11
8．数列{an}满足a1＝，an＝(n≥2，n∈N)．
4（－1）nan－1－2
?1?
(1)试判断数列?a＋（－1）n?是否为等比数列，并说明理由；
?
n
?
（2n－1）π4
(2)设bn＝ansin，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：对任意的n∈N*，Tn＜.
27an－11（－1）nan－1－22n
解：(1)an＝?＝＝(－1)－，
（－1）nan－1－2anan－1an－1
121?（－1）n－1＋1?， 所以＋(－1)n＝2·(－1)n－?所以＋(－1)n＝(－2)·an－1?anan?an－1
?1?
所以?a＋（－1）n?为公比是－2的等比数列．
?
n
?
1
(2)证明：＋(－1)1＝3，由(1)可得
a1
11n－1＋（－1）1?·(－2)n－1＝3·＋(－1)n＝?(－2)， ?a1?an
1
所以an＝. －
3·（－2）n1－（－1）n而sin
（2n－1）π－
＝(－1)n1， 2
－
（2n－1）π（－1）n11
所以bn＝an·sin＝＝，所以bn＝－1－nnn23·（－2）－（－1）3·21＋113·2
n－1
1
＜n－1， ＋13·2
111当n≥3时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＜(b1＋b2)＋＋＋…＋－ 3·223·233·2n11??1?n－2?
1－
1112??2??111474＝＋＋＜＋＋＝＜. 471476847
1－2因为{bn}为正项数列，所以T1＜T2＜T3＜…＜Tn， 4
所以n∈N*，Tn＜.
7
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