(1)b= ; (2)λ= . 答案 (1)- (2) 2
2
1
1
8.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x+y-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
解析 (1)由已知得,圆C1的标准方程为(x-3)+y=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).
2
2
22
(2)由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线段AB的中点M(x0,y0)(其中??0=
??1+??22
,??0=
2
2
??1+??22
),
将y=tx代入圆C1的方程,整理得(1+t)x-6x+5=0. 则有x1+x2=1+??2,
所以x0=1+??2,代入直线l的方程,得y0=1+??2.
99??9(1+??)922
因为??0+??0=22+22=22=1+??2=3x0,
(1+??)(1+??)(1+??)
2
2
6
33??
2
所以(??0-2)+??0=4.
32
9
又因为方程(1+t)x-6x+5=0有两个不相等的实根, 所以Δ=36-20(1+t)>0,解得t<5,所以3 所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为(??-)+y=( 243(3)由(2)知,曲线C:(??-)+y=( 243如图,D(3, 3252√53 32 2 2 2 22 45 32 2 95 95 ),E(3,-9 52√53 ),F(3,0),直线L过定点G(4,0). 2222-2)+??2=4,(??由{得(1+k)x-(3+8k)x+16k=0. ??=??(??-4) 当直线L与曲线C相切时,判别式Δ=0,解得k=±.结合图形可以判断,当直线L与曲线C只 4 3 有一个交点时,有kDG≤k≤kEG或k=kGH或k=kGI,即k★[- 2√52√57 , 7 ]★{-4,4}. 33 9 评析本题考查了直线和圆的位置关系;考查了求解弦的中点问题的基本方法;考查了运算求解能力和数形结合思想,属偏难题. 【三年模拟】 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2019北京东城一模文,3)已知圆C:x+2x+y=0,则圆心C到直线x=3的距离等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 2.(2019北京延庆一模文,2)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为( ) A.(x-1)+y=1 B.(x+1)+y=1 2222 C.x+(y-1)=1 D.x+(y+1)=1 答案 C 3.(2020届中学生标准学术能力基础性测试,2)已知圆C的方程为2x+2y-2x+4y-1=0,则圆C的圆心坐标为( ) A.(1,2) B.(1,-2) C.(2,1) D.(2,-1) 答案 D 4.(2019北京朝阳期末,4)在平面直角坐标系xOy中,过A(4,4),B(4,0),C(0,4)三点的圆截x轴所得的弦长为( ) A.4 B.4√2 C.2 D.2√2 答案 A 5.(2020届山东夏季高考模拟,6)已知点A为曲线y=x+??(x>0)上的动点,B为圆(x-2)+y=1上的动点,则|AB|的最小值是( ) A.3 B.4 C.3√2 D.4√2 答案 A 4 2 2 2 2 2 2 2 2 22 11 10 二、填空题(每小题5分,共25分) 6.(2018北京顺义二模,11)圆(x-2)+(y-1)=1的圆心到直线y=2x+2的距离为 . 答案 √5 7.(2018北京东城二模,13)直线x-y-1=0被圆C所截得的弦长为√2,则圆C的方程可以为 .(写出一个即可) 答案 x+y=1(符合题意即可) 2 2 22 8.(2019北京西城期末文,10)以抛物线y=8x的焦点为圆心,且与直线y=x相切的圆的方程为 . 答案 (x-2)+y=2 2 2 2 9.(2020届北京清华附中朝阳学校摸底,10)已知圆C:x-2x+y=0,则圆心坐标为 ;若直线l过点(-1,0)且与圆C相切,则直线l的方程为 . 答案 (1,0);x-√3y+1=0或x+√3y+1=0 10.(2020届北京人大附中开学测试,12)已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上,若圆C与两个坐标轴都相切,则圆C的标准方程是 . 答案 (??+)+(??-)= 339 12 121 22 11
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