（生物科技行业）第届全国中学生物理竞赛复赛试题
参考解答
第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准 壹、参考解答
令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷，由能量守恒可知
（1）
因为a不动，可取其球心为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。所求的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好和该处球面相切（见复解20-1-1）。以表示的最大值，由角动量守恒有
（2）
由式（1）、（2）可得
（3）
代入数据，可得
（4）
若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中改为。同理可求得 （5）
评分标准：本题式（1）、（2）各4式（5）5分。 二、参考解答
在温度为时，气柱中的空气的压强和体积分别为
，（1）
15分。
分，式（4）2分，
（2）
当气柱中空气的温度升高时，气柱俩侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大
（3）
由此造成气柱中空气体积的增大量为
（4）
和此同时，气柱左侧的水银也有壹部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大，使俩支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为
（5）
所以，当温度为时空气的体积和压强分别为
（6） （7）
由状态方程知
（8）
由之上各式，代入数据可得
K（9）
此值小于题给的最终温度K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达时，气柱体积为
（10）
代入数据可得
（11）
评分标准：本题15分。
求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。 三、参考解答
位于通道内、质量为的物体距地心为时（见图复解20-3），它受到地球的引力能够表示为
，（1）
式中是以地心为球心、以为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量能够表示为 （2）
于是，质量为的物体所受地球的引力能够改写为 （3）
作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小为 （4） （5）
为和通道的中垂线间的夹角，为物体位置到通道中
点的距离，力的方向指向通道的中点。在地面上物体的重力能够表示为 （6）
式中是地球的质量。由上式能够得到 （7）
由之上各式能够求得 （8）
可见，和弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为 （9）
物体将以为平衡位置作简谐振动，振动周期为。取处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为的静止物体到达处的速度为，则根据能量守恒，有 （10）
式中表示地心到通道的距离。解之上有关各式，得 （11）
可见，到达通道中点的速度和物体的质量无关。
设想让质量为的物体静止于出口处，质量为的物体静止于出口处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点处，且发生弹性碰撞。碰撞前，俩物体速度的大小都是，方向相反，刚碰撞后，质量为的物体的速度为，质量为的物体的速度为，若规定速度方向由向为正，则有
，（12）
（13）
解式（12）和式（13），得 （14）
质量为的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口处时的速度为，则有
（15）
由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得
（16）
的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使的方向改变成沿地球处的切线方向，如果的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有
（17）
由式（16）、（17）且注意到式（6），能够得到
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