一、题型归纳
1. 巧用时间的对称性
[例1]一质点在平衡位置O点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O出发向最大位移A处运动过程中经0.15s第一次通过M点，再经0.1s第2次通过M点。则此后还要经多长时间第3次通过M点，该质点振动的频率为多大？
解析：由于质点从M?A和从A?M的时间是对称的，结合题设条件可知M?A所需时间为
0.05s，所以质点从平衡位置O?A的时间为
tOA?tOM?tMA?(0.15?0.05)s?0.2s，又因为
tOA?T4，所以质点的振动周期为T?0.8s，频率
f?1?1.25HzT。
根据时间的对称性可知M?O与O?M所需时间相等为0.15s，所以质点第3次通过M点所需
时间为
2. 巧用加速度的对称性
[例3] 如图3所示，质量为m的物体放在质量为M的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体m对平台的压力恰好为零，当m运动到最低点时，求m的加速度。
解析：我们容易证明，物体m在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点时对M的
压力为零，即知道物体m在运动到最高点时的加速度为g，由简谐运动的对称性知道，物体m运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度的大小为g，方向竖直向上。
[例4]轻弹簧（劲度系数为k）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M的木板B相连接，在木板B上又放有一个质量为m的物块P。当系统上下振动时，欲使P、B始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？
解析：从简谐运动的角度看，木板B和物块P的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即F合?kx；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a，即
t?T?2tOM?0.7s2。
F合?(M?m)a，由以上两式可解为kx?(M?m)a。当P和B在平衡位置下方时，系统处于超重状态，
P不可能和B分离，因此P和B分离的位置一定在上方最大位移处，且P和B一起运动的最大加速度
am?g。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为am?g，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关
系式kxm?(M?m)g?(M?m)am，即得3. 巧用速度的对称性
[例5] 如图所示是一水平弹簧振子在5s内的振动图象。从图象中分析，在给定的时间内，以0.5s为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。
解析：由速度的对称性可知，图5中与0.5s具有相同速率的时刻为1.5s、2.5s、
xm?2(M?m)gk。
3.5s、4.5s。结合动能定理可知，从0.5s到以上时刻所对应的时间内弹力所作的功
均为零。
4. 巧用回复力的对称性
[例6]在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M?m)的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐运动。当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为（ ）
A.Mg B.(M?m)g C.(M?m)g D.(M?2m)g
解析：剪断细线后的瞬间，弹簧对A的弹力为kx?2mg，所以A受到向上的合外力（回复力）为mg。当A运动到上方最大位移处时，由于简谐运动的回复力的对称性，A将受到竖直向下的合外力（回复力），其大小仍为mg，也就是说，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力为Mg。选项A正确。
[例7]质量为m的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是_____；欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅不能超过_____。
分析与解答：物体对弹簧压力最大应是物体振动到最低点时，最小应是物体振动到最高点时。对物体进行受力分析，在最低点受两个力：重力和弹簧弹力，根据题中信息可知这两个力
的合力大小为0.5mg，方向向上，充当回复力。根据力大小的对称性可知，物体振动到最高点时，回复力大小也应为0.5mg，方向向下，则物体在最高点所受弹簧的弹力应为0.5mg，方向向上，根据牛顿第三定律物体对弹簧的最小压力为0.5mg；物体脱离弹簧时应是弹簧恢复到自由伸长时，根据弹力F?k?x可知，在原来的基础上弹簧再伸长一个振幅A就可恢复到原长，所以欲使物体不离开弹簧，其振幅不能超过2A。
[例8]用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量为m的木板B连接组成如图所示的装置，B板置于水平地面上，现用一个竖直向下的力F向下压木板A，撤消F后，B板恰好被提离地面，由此可知力F的大小是（ ）
A. 7mg B. 4mg C. 3mg D.2mg
解析：没撤去力F时，物体A静止，所受合力为零，把力F撤去，物体A受合力大小为F，方向向上，开始向上振动，所以最大回复力为F，根据力大小的对称性，A振动到
最高点时，回复力大小也为F，对物体A在最高点进行受力分析：重力3mg和弹簧的弹力F?，合力为F。即F?F??3mg；再对物体B进行受力分析，B恰好被提离地面可得：F??mg，所以力F的大小为
4mg。选项B正确。
5. 巧用能量的对称性
[例9] 一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为k?400N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内
2m?m?1kgg?10m/sABBBAB装物体，的上下表面恰好与盒子接触，和的质量，，不计阻力，
先将A向上抬高使弹簧伸长5cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧的形变大小。试求：（1）A的振幅；（2）B的最大速率；（3）在最高点和最低点时A对B的
作用力。
解析：（1）设A和B做简谐运动到平衡位置时，弹簧的压缩量为x0，由平衡条件kx0?(mA?mB)g，得x0?5cm，故A的振幅为A?10cm。
（2）当B运动到平衡位置时速率最大，A和B由静止释放到平衡位置过程中，弹簧的伸长量与压缩
1(mA?mB)v22量相等，弹性势能不变，由动能定理，得v?2m/s。
（3）设A、B一起运动的最大加速度大小（最高点和最低点）为a，由牛顿第二定律
(mA?mB)gA?(mA?mB)g?kx1?(mA?mB)a，得a?20m/s2。
取B为研究对象，在最高点时有mBg?F1?mBa，得A对B的作用力F1?10N，方向向下；在最低点时有F2?mBg?mBa，得A对B的作用力F2?30N，方向向上。
[例10]质量分别为mA?2kg和mB?3kg的A、B两物块，用劲度系数为k的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F?45N的力把物块A向下压而使之处于静止，突然撤去压力，则（ ）
A. 物块B有可能离开水平面 B. 物块B不可能离开水平面
C. 只要k足够小，物块B就可能离开水平面
D. 只要k足够大，物块B就可能离开水平面
解析：撤去压力后，物体A在竖直方向上做简谐运动，下压的的初始位置即为振幅位置，此时最大回复力为F?45N（学生可类比水平方向得出结论，也可间接由受力分析得出），由回复力的对称性特点，当A运动到最高点时，回复力也为45N，方向向下，设此时弹簧中的弹力为Fx，有F?Fx?mAg，得
Fx?25N，Fx?mBg，因此，物体B不可能离开水平面。
6.简谐振动的图象和能量
[例11]一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始记时，经过3s质点第一次经过M点；再继续运动，又经过2s，它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需的时间是（ ）
10s8s4s14s3A. B. C. D.
解析：设图2中a、b两点为质点振动过程中的最大位移，若开始记时时刻质点从O点向右运动，
T?4sO?M运动过程经历3s，M?b?M过程经历2s，显然4，T?16s，质点第三次经过M点所需的时间?t3?T?2s?16s?2s?14s，故C正确；若开始记时时刻质点从O点向左运动，
TT16??4sT?sO?a?O?M运动过程经历了3s，M?b?M过程经历2s，显然423，质点第三，
1610??T?2s?s?2s?s?t333，故D正确。因此选C、D。 次经过M点所需的时间
[例12] 如图是一个单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多大？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球的最大加速度和最大速度分别为多大？（g?10m/s）
解析：这是一道根据共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目，本题涉及到的知识点有受迫振动、共振的概念和规律、单摆摆球做简谐运动及固有周期、频率、能量的规律等。由题意可知，当单摆振动时频率f?0.5Hz，即
2f固?f?0.5Hz，振幅A?8cm?0.08m，由
T?2?glL?24?fg，解得
2?1m。
如图5所示，当最大摆角（共振时）?m很小时，当?m很小时，sin?m??m，弦A近似为弧长。
F?mgsin?m?mg?m?mgAL，其中?m为弧度。
图5
其最大加速度
am?gsin?m?gA?0.8m/s2L
2mvm?mgL(1?cos?m)根据机械能守恒有2
且
1?cos?m?2sin2?mA2?2()?2222L（?m很小），所以vm?0.25m/s
?m2
二．2012高考题型归类
1．简谐运动基本概念解图像问题
1．（2012·北京17）一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开
始计时，经过四分之一的周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是
解析：由振子受到的力据以上四幅图可知答案为A。
，则加速度；加速度与位移成正比，方向与位移方向相反。根
点评：振动与波动是每年的必考题，以往北京出题都是振动图像和波动图像一起出现的，而今年只出现的振动图像，考察的也是比较基础的质点振动时的加速度问题，没有变型，比较常见，所以其实题目的难度和前几年高考相比是有所下降了。
2．（2012·重庆14）装有砂粒的试管竖直静立于小面，如题14图所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是
解析：试管竖直提起少许后释放，说明试管从正向最大位移处开始做简谐运动运动，从以上选项可得D正确 2．单摆问题
3．（2012上海卷）在“利用单摆测重力加速度”的实验中
（1）某同学尝试用DIS测量周期。如图，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。图中磁传感器的引出端A应接到
__________。使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于__________。若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为__________（地磁场和磁传感器的影响可忽略）。
（2）多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长L及相应的周期T。虎后，分别取L和T的对数，所得到的1gT-1gL图线为______（填“直线”、“对数曲线”或“指数曲线”）；读得图线与纵轴交点的纵坐标为c，由此得到该地的重力加速度g＝__________。
答案：（1）数据采集器，最低点（或平衡位置），，（2）直线，4?/10。
解析：（1）只有小球在最低点时，磁感应器中的磁感强度才最大；连续N个磁感应强度最大值应有N-1
2
2c个时间间隔，这段时间应为（N-1）/2个周期，即：因此T=
（2）根据：，取对数得：因此图象为一条直线；图象与纵坐
标交点为C，则
整理得：。
4． (2012·全国大纲25)一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k。设地球的半径为R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。
解析：单摆在地面处的摆动周期，在某矿井底部摆动周期，已知，根据
，。（表示某矿井底部以下的地球的质量，表示某矿井底部处的重力
加速度），又由,联立解得：
三．2013新题演练
1.若单摆的摆长不变，摆球的质量由20g增加为40g，摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°，则单摆振动的 （ ） A.频率不变，振幅不变 B.频率不变，振幅改变 C.频率改变，振幅不变 D.频率改变，振幅改变 4.B 解析：单摆的摆长不变时，单摆振动的周期T?2?l不变，频率f=1/T不变；摆长不变时，摆角g越大，振幅越大，选项B正确。本题答案为B。 2.关于单摆的运动有下列说法，正确的是（ ） ①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力
②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
③单摆的周期与质量无关与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关 ④单摆做简谐运动的条件是摆角很小如小于5° ⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快
A．①③④ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
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