初一数学基础知识
第一讲 和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：
数
二、 绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
?a?当a为正数???也可以写成： |a|??0?当a为0?
????a?当a为负数?说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 例2．已知：x?0?z，xy?0，且y?z?x， 那
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么x?z?y?z?x?y
的值（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
例4．（整体的思想）方程x?2008?2008?x 的解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．
111???ab?a?1??b?1??a?2??b?2?
?1?a?2007??b?2007?
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与?2，3与5，?2与?6，
?4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： . （2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为 （3）结合数轴求得x?2?x?3的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 . （4） 满足x?1?x?4?3的x的取值范围为
四、 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
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第二讲：代数式的化简求值问题
一、知识链接
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
例1．若多项式2mx?x?5x?8?7x?3y?5x的值与x无关，
求m?2m??5m?4??m的值.
2222?2???
例2．x=-2时，代数式ax?bx?cx?6的值为8，求当x=2时，代数式ax?bx?cx?6的值。
例3．当代数式x?3x?5的值为7时,求代数式3x?9x?2的值.
例4． 已知a?a?1?0，求a?2a?2007的值.
例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？
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例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x?abcabacbc， ?????abcabacbc则 ax?bx?cx?1的值是_______ 。
规律探索问题：
例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始
按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
AB（1）“17”在射线 ____上，
8 “2008”在射线___________上． 7 2 1 （2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的 9 3 C代数式表示为__________________________． 4 O6 12 10 5 11
32FDE
三、小结
用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维
的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
第三讲：与一元一次方程有关的问题
一、知识回顾
一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。 典型例题：
二、典型例题
例1．若关于x的一元一次方程
2x?kx?3k?=1的解是x=-1，则k的值是（ ） 32213A． B．1 C．- D．0
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例2．若方程3x-5=4和方程1?
例3.（方程与代数式联系）
3a?x?0的解相同，则a的值为多少？ 3 a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算 ab?ad?bc.
cd（1）则12的值为 ；（2）当
24?12(1?x)5?18 时，x= .
例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖
好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）
不考虑瓶子的厚度.
A．
abhh B． C． D． a?ba?ba?ha?b课外知识拓展：
一、含字母系数方程的解法：
思考：ax?b是什么方程？
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以ax?b不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。 例5．解方程ax?b
例6．当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
例 7． 解方程
x?11?xa?b ??abab二、含绝对值的方程解法
例8． 解下列方程5x?2?3
2x?1?5?1 例9． 解方程
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