2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合A={x|x2?5x+6>0},B={x|x?1<0},则A∩B=( A ) A. (?∞,1) B.(?2,1) C.(?3,?1) D. (3,+∞) 2.设z=?3+2i,则在复平面???对应的点位于( ?? ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ????? =(2,3),????????? =(3,??),|????????? |=1,则????????? ?????????? =( ?? ) 3.已知????
A.?3 B.?2 C. 2 D. 3
4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天 事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月 拉格朗日??2点的轨道运行，??2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为??1 ，月球质量为??2，地月距离为??，??2点到月球的距离为??,根据牛顿运动定理和万有引力 定律，??满足方程：
??
??1(??+??
+)2
??2??2
=(??+??)
??1??3
≈3??3,则??的近似值为( ?? )
3
设α=??,由于??的值很小，因此在近似计算中
??
??
3
1
1
3??3+3??4+??5
(1+??)222
A. √??2?? B. √2???? C. √??2?? D. √3????
1
1
3????
5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个 原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个 原始评分相比，不变的数字特征是( A )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D.极差 6.若a>b,则( C )
A.ln(a?b)>0 B.3??<3?? C. ??3???3>0 D. |a|>|b|
7.设α，β为两个平面，则α∥β的 充要条件是( B )
A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面 8.若抛物线??2=2px(p>0)的焦点是椭圆
??23??
+
??2??
=1的一个焦点，则??=( ?? )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
9.下列函数中，以2为周期且在区间(4,2)单调递增的是( A )
A.f(x)=|cos2x| B. f(x)=|sin2x| C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin |x| 10.已知α∈(0,2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( B ) A. B.
51
√5 5π
π
????
C.
??2
??2
√3 3
D.
2√5 5
11.设F为双曲线C：??2???2=1(??>0,??>0)的右焦点，??为坐标原点，以????为直径 的圆与圆??2+??2=??2交于??，??两点.若|????|=|????|,则??的离心率为( ?? ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √5
12.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x?1). 若对任意x∈(?∞,m],都有f(x)≥?,则??的取值范围是( ?? )
98
A. (?∞,] B. (?∞,] C.(?∞,] D. (?∞,]
4
3
2
3
9758
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的 正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
14.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=???????,若??(????2)=8,则??= 15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC
3π
的面积为
16.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”(图1). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数
学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方 体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有 个面，其棱长 为 （本题第一空2分，第二空3分。） 三
、
解答题：共70分。第17~21题为必考题。第22、23题为选考题。 （一）必考题：共60分
17.（12分） 如图，长方体ABCD???1??1??1??1的底面????????是正方形、 点E在棱A??1上，????⊥????1. (1)证明：BE⊥平面E??1??1;
(2)若AE=??1??,求二面角B?EC???1的正弦值.
18.（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多 得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的 概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。在某局双方10:10后， 甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。 (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率。
19.（12分）已知数列{????}和{????}满足??1=1,??1=0,4????+1=3?????????+4,4????+1=3??????????4. (1)证明：{????+????}是等比数列，{?????????}是等差数列; (2)求{????}和{????}的通项公式.
20.(12分)已知函数f(x)=lnx?
??+1???1
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点;
(2)设??0是??(??)的一个零点，证明曲线??=??????在点??(??0,??????0)处的切线也是曲线??=????的切线。
21．（12分）已知点A(?2,0)，B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?2. 记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E， 连结QE并延长交C与点G. (??)证明：△PQG是直角三角形; (ii)求△PQG面积的最大值.
二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在极坐标系中，O为极点，点M(??0,??0)(??0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上.直线??过点 A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. (1)当??0=3时，求??0及??的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23.【选修4-5：不等式选讲】(10分) 已知f(x)=|x?a|x+|x?2|(x?a).
??
1
(1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(?∞,1)时，f(x)<0,求a的取值范围.
参考答案：2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合A={x|x2?5x+6>0},B={x|x?1<0},则A∩B=( A ) A. (?∞,1) B.(?2,1) C.(?3,?1) D. (3,+∞)
解析：∵A={x|x2?5x+6>0}={??|??<2或??>3},??={??|??<1}, ∴A∩B={x|x<1},选A
2.设z=?3+2i,则在复平面???对应的点位于( ?? ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：∵z=?3+2i，∴???=?3?2??,对应点(?3,?2)位于复平面第三象限，选?? ? =(2,3),????????? =(3,??),|????????? |=1,则????? ?????????? =( ?? ) 3.已知???????????? A.?3 B.?2 C. 2 D. 3
????? =????????? ?????????? =(1,???3),∴|????????? |=√1+(???3)2=1,∴??=3 解析：∵????
????? =(1,0),∴????????? ?????????? =2，选?? ∴????
4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天 事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月 拉格朗日??2点的轨道运行，??2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为??1 ，月球质量为??2，地月距离为??，??2点到月球的距离为??,根据牛顿运动定理和万有引力 定律，??满足方程：
1
(??+??+)2
??
??2??2
1
=(??+??)??3
??
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