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（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，设M（a，b，0），利用MN⊥平面A1B1C1，结合求出a，b，然后求线段BM的长． 方法二：（I）说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角，通过解三角形C1A1B1，利用余弦
定理，．
求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．
（II）连接AC1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，说明∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平
面角．连接AB1，在△ARB1中，通过，
求出二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．
（III）首先说明MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，推出ND⊥A1B1．证明A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，延长EM交AB于点F， 连接NE．连接BM，在Rt△BFM中，求出． 【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点． 依题意得
（I）解：易得
，
于是
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
．
，
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（II）解：易知
．
设平面AA1C1的法向量=（x，y，z），
则不妨令
即，可得
，
同样地，设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），
则可得
即
．
不妨令
，
于是从而
．
．
，
所以二面角A﹣A1C1﹣B的正弦值为（III）解：由N为棱B1C1的中点， 得则
．设M（a，b，0），
由MN⊥平面A1B1C1，得
即
解得故．
因此
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，所以线段BM的长为．
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方法二： （I）解：由于AC∥A1C1，故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角． 因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，
可得A1C1=B1C1=3．
，
因此．
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为． （II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1， 又由于AA1=B1A1，A1C1=A1C1， 所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R，
连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．
在Rt△A1RB1中，
．
连接AB1，在△ARB1中， 从而
．
=，
所以二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为． （III）解：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1． 取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点， 所以ND∥C1H且． 又C1H⊥平面AA1B1B， 所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1． 又MN∩ND=N，
所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E， 则ME⊥A1B1，故ME∥AA1．
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由得
，
，延长EM交AB于点F，
可得．连接NE．
2
在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND=DEDM．
所以．
可得．
连接BM，在Rt△BFM中，．
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
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19．（12分）（2014秋岳阳期末）已知圆C：（x﹣a）+（y﹣a﹣1）=9，其中a为实常数．
（1）若直线l：x+y﹣3=0被圆C截得的弦长为2，求a的值； （2）设点A（3，0），0为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范围． 【考点】直线和圆的方程的应用． 【专题】直线与圆． 【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式，结合直线l：x+y﹣3=0被圆C截得的弦长为2，利用勾股定理，可求a的值； （2）求出M在圆心为D（﹣1，0），半径为2的圆上，根据点M在圆C上，可得圆C与圆D有公共点，从而可得不等式，解不等式，即可求a的取值范围． 【解答】解：（1）由圆的方程知，圆C的圆心为C（a，a+1），半径为3…（1分）
设圆心C到直线l的距离为d， ∵l被圆C截得弦长为2， ∴d+1=9，即d=2
2
，
∴
∴a=﹣1或a=3…（5分）
，即|a﹣1|=2，
（2）设M（x，y），由|MA|=2|MO|，得
即x+y+2x﹣3=0…（7分） ∴点M在圆心为D（﹣1，0），半径为2的圆上．
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