求极值的方法与技巧资料

求极值的方法与技巧

极值一般分为无条件极值和条件极值两类。

无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；

条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。

一、求解无条件极值的常用方法

1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型

定理1(充分条件) 设函数z?f(x? y)在点(x0? y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

则f (x? y)在(x0? y0)处是否取得极值的条件如下：

(1) AC?B2>0时具有极值? 且当A<0时有极大值? 当A>0时有极小值； (2) AC?B2<0时没有极值；

(3) AC?B2?0时可能有极值? 也可能没有极值。 ? 极值的求法：

第一步 解方程组fx(x? y)?0? fy(x? y)?0? 求得一切实数解? 即可得一切驻点。 第二步 对于每一个驻点(x0? y0)? 求出二阶偏导数的值A、B和C。

第三步 定出AC?B2的符号? 按定理1的结论判定f(x0? y0)是否是极值、是极大值 还是极小值。 应注意的几个问题：

⑴对于二元函数z?f(x? y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；

⑵AC?B2?0时可能有极值? 也可能没有极值，还需另作讨论；

⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。 例1求函数z?(x2?y2)e?(x2?y2)的极值。

??z22?(x2?y2)?2x(1?x?y)e?0???x解 令?

22?z??2y(1?x2?y2)e?(x?y)?0???y得驻点(0,0)及x2?y2?1.

22?2z又由2?[2(1?y2?3x2)?4x2(1?x2?y2)]e?(x?y)

?x22?2z??4xy(2?x2?y2)e?(x?y)

?x?y?2z22222?(x2?y2) 2?[2(1?x?3y)?4y(1?x?y)]e

?y?2z?2z?2zA?2?2, B??0, C?2?x(0,0)?x?y(0,0)?y??B2?AC??4?0,A?0

?2

(0,0)故f(0,0)?0为极小值。

?2z由于A?2?x??4x2e?1,

x2?y2?1?2zB??x?y?2zC?2?y??4xye?1,

x2?y2?1??4y2e?1

x2?y2?1??B2?AC?0，此时有通常的方法无法判定。

令x2?y2?t(t?0)，则z?te?t，由得驻点t?1.

dz?e?t(1?t)?0 dtd2z?(t?2)e?t又2dtt?1t?1??e?1?0

2故z?te?t在t?1处取极大值，即函数z?(x2?y2)e?(x大值z?e?1.

?y2)在圆周x2?y2?1上取极

2．对于三元及更多元的函数定理1并不适用，而在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决。 定义1 设n元函数f(X)?f(x1,x2,xn)在X?(x1,x2,,xn)T?Rn的某个邻域内

??f(X)?f(X)有一阶、二阶连续偏导数。 记?f(X)??,,?x?x12?函数f(X)在点X?(x1,x2,,xn)T处的梯度。

?f(X)?,?, ?f(X)称为?xn?定义2 满足?f(X0)?0的点X0称为函数f(X)的驻点。

??2f(X)?定义3 H(X)????x?x???ij?n?n??2f(X)?2?x1????2??f(X)??x?x?n1?2f(X)?x1?x2?2f(X)?xn?x2?2f(X)???x1?xn?? ?2?f(X)?2??xn?称为函数f(X)?f(x1,x2,xn)在点X?Rn处的黑塞矩阵。显然H(X)是由f(X)的n2个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵。

0,定理2(极值存在的必要条件) 设函数f(X)在点X0?(x10,x20T,xn)处存在一阶

偏导数，且X0为该函数的极值点，则?f(X0)?0。

定理3(极值的充分条件) 设函数f(X)在点X0?Rn的某个邻域内具有一阶、二阶

??f(X0)?f(X0),,连续偏导数，且?f(X0)???x2??x1,?f(X0)???0 ?xn?则(1)当H(X0)为正定矩阵时，f(X0)为f(X)的极小值 (2)当H(X0)为负定矩阵时，f(X0)为f(X)的极大值 (3)当H(X0)为不定矩阵时，f(X0)不是f(X)的极值。 应注意的问题：

利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.

例1 求三元函数f(x,y,z)?x2?2y2?3z2?2x?4y?6z的极值。 解 先求驻点，由

?fx?2x?2?0? ?fy?4y?4?0 得x??1,y??1,z?1

??fz?6z?6?0所以驻点为P0(?1,?1,1)。 再求(Hessian)黑塞矩阵

因为fxx?2,fxy?0,fxz?0,fyy?4,fyz?0,fzz?6

?200??，可知是正定的，所以f(x,y,z)在P(?1,?1,1)点取得极小040所以H??H0????006??值：f(?1,?1,1)??6.

当然，此题也可用初等方法f(x,y,z)?(x?1)2?2(y?1)2?3(z?1)2?6求得极小值

?6，结果一样。

二、求解条件极值的常用方法 1．代入法化为无条件极值问题

从一道错误的例题谈条件极值的代入法[1] (这里全文引用)

同济大学出版的教材(高等数学(第二版下).上海:同济大学出版社,1998.8)在介绍条件极值时举了这样的一道例题:

“例10:某公司的两个工厂生产同样的产品,但所需成本不同,第一个工厂生产x单位产品和第二个工厂生产y单位产品时的总成本是

C(x,y)?x2?2y2?5xy?700。若公司的生产任务是500个单位产品,问如何分配

任务才能使总成本最小?

解:根据题意,是求函数C(x,y)?x2?2y2?5xy?700在在条件x?y?500下的极值。作辅助函数F(x,y)?x2?2y2?5xy?700??(x?y?500)