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世界坐标系和摄像机坐标系的关系:
?X??x? ?????Y?y?K(Rt)???Z? (3.2.1) ?1??????1?在Tsai的方法中，K 取作：
?fs,0,u0??? (3.2.2) K??0,f,v0??0,0,1???
理想图像坐标到数字图像坐标的变换（只考虑径向偏差[18,19]），如下页图3.2:
（x, y）
图3.2.2 径向偏差
22??(x?uc)(1?k1(u?v))?u?uc? （3.2.3） 22(y?v)(1?k(u?v))?v?v?c1c?(u,v)为一个点的数字化坐标，（x,y）为理想的数字化坐标，?uc,vc?为畸变中心。
(u,v) （uc, vc） （1）径向一致约束
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在图像平面上，点?xc,yc?，（x,y），（u,v)共线，或者直线?xc,yc? (x,y)与直线?xc,yc?（u,v) 平行或斜率相等，则有：
x?ucu?uc （3.2.4）
y?vc?v?vc通常把图像中心取作畸变中心和主点的坐标，因此：
00 （3.2.5） ?（2）定标算法
x?uy?v0u?uv?v0定标步骤一：求解像机外参数旋转矩阵R和向x,y方向上的平移t1，t2 根据：
?X?x???Y????? （3.2.6） ?y??K?Rt??Z?????1?? ?1??fs,0,u0?rrrt????1231 其中， ??K??0,f,v0?????R??r4r5r6?,t??t2??0,0,1? ???t?， ?rrr??3??789?fs?r1X?r2Y?r3Z?t1?? 得到： x??u0?rX?rY?rZ?t?7893? （3.2.7） ?y?f?r4X?r5Y?r6Z?t2??v0?rX?rY?rZ?t7893? 再根据式（3.2.5）得到：
s?r1X?r2Y?r3Z?t1?u?u0? （3.2.8） rX?rY?rZ?tv?v45620由至少7组对应点，可以求得一组解：
M0??m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8???sr1,sr2,sr3,st1,r4,r5,r6,t2?（3.2.9）
222?m6?m7对M0除以c?m5，则得到一组解?sr1,sr2,sr3,st1,r4,r5,r6,t2?。由r12?r22?r32?1可
求出S，从而t1也可以被解出。
?r7,r8,r9???r1,r2,r3???r4,r5,r6? 或 ?r7,r8,r9???r4,r5,r6???r1,r2,r3?
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根据 det(R)=1,来选择?r7,r8,r9?。
定标步骤二：求解有效焦距f、z方向上的平移t3和畸变参数k； 令k=0作为初始值，则式（3.2.7）为： x?u0?u?u0y?v0?v?v0 （3.2.10）由式
（3.2.7）中x,y的表达式，可以将第一步求出 R，t1，t2的值代入得：
???u?u0??r7X?r8Y?r9Z?t3??fs(r1X?r2Y?r3Z?t1) （3.2.11） ????v?v0??r7X?r8Y?r9Z?t3??f(r4X?r5Y?r6Z?t2)由此可以解出f, t3.将求出的f, t3.以及k=0作为初始值，对下式进行线性优化：
?fs(r1X?r2Y?r3Z?t1)221?ku?v ???u?u0?rX?rY?rZ?t?7893??f(r4X?r5Y?r6Z?t2)1?k?u2?v2??v?v0?rX?rY?rZ?t893?7????（3.2.12）
估出估计t3，f和k的真实值。
3.3 张正友的平面标定方法 YcM?X,Y,0? ZcYwO XcOw图3.3.1 张正友标定成像模型
ZwXw
m?u,v?
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基本原理：
?X??u??X??Y?
??K[rrrt]???K[rrt]?Y?s?v12312??????0 （3.3.1） ?????1???1???1?在这里假定模板平面在世界坐标系Z=0的平面上,其中，K摄像机的内参数矩阵,
~~m?[uv1]T为模板平面上的点投影到 M?[XY1]T为模板平面上点的齐次坐标，
图像平面上对应点的齐次坐标。[r1r2r3]和t分别是摄像机坐标系相对于世界坐标系的旋
11转矩阵和平移向量。H?[h1h2h3]??K[r1r2t]，r1?K?1h1,r2?K?1h2，根据旋转矩阵
??T的性质，即r1r2?0和r1?r2?1，每副
图像可以获得以下两个对内参数矩阵的基本约束：
T?T?1??h1KKh2?0?T?T?1T?T?1 （3.3.2） ??h1KKh1?h2KKh2由于摄像机有5个未知内参数，所以当所摄取得的图像数目大于等于3时，就可以线性唯一求解出。
张正友方法所用的平面模板如下：
图3.3.2 张正友标定模板
算法描述为：
1. 打印一张模板并贴在一个平面上 2. 从不同角度拍摄若干张模板图像
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