【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
11.（2018?福建A卷?4分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°， 故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
12. （2018?福建B卷?4分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
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A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°， 故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
13. （2018?达州?3分）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
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在△BNA和△BNE中，
∴△BNA≌△BNE， ∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12， ∴DE=BE+CD﹣BC=5， ∴MN=DE=． 故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14. （2018?资阳?3分）下列图形具有两条对称轴的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据轴对称及对称轴的定义，结合所给图形即可作出判断． 【解答】解：A.等边三角形由3条对称轴，故本选项错误； B.平行四边形无对称轴，故本选项错误； C.矩形有2条对称轴，故本选项正确； D.正方形有4条对称轴，故本选项错误； 故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义，常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
二.填空题
1.（2018?江苏徐州?3分）边长为a的正三角形的面积等于 【分析】根据正三角形的性质求解． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
．
8
∵AD⊥BC，∴BD=CD=a，∴AD==a，面积则是：a?a=a．
2
【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法，比较简单．
2.（2018?江苏无锡?2分）如图，点A.B.C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧则∠ABC= 15° ．
上，且OA=AB，
【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB， 即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，
∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°﹣60°=30°，∴∠ABC=15°， 故答案为：15°
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3.（2018?江苏无锡?2分）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 2≤a+2b≤5 ．
【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．
【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，
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∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a， Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH， 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2； 当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．
4.（2018?江苏淮安?3分）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于 65 °． 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案． 【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°， 又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°﹣50°）×=65°． 故答案为：65．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
5. （2018?乌鲁木齐?4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2
，AC=2，点D是BC
的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为 ．
【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°，AB=4，再利用折叠的性质得DB=DC=
，
EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，设AE=x，则BE=4﹣x，EB′=4﹣x，讨论：当∠AFB′=90°时，则∴BF=
cos30°=，则EF=﹣（4﹣x）=x﹣，于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF
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