∴∠AFE=∠EDB=90°，∠AEF=∠B， ∴△AEF∽△EBD， = ， ∴ ?? ??
设 CD=x，则 EF=DF=x，AF=6-x，BD=8-x， ， ∴ ? = 8?? 解得 x= ，
7 24
6?? ? ?? ??
∴CD= 7 ，
综上所述，CD 的长为 3 或 7 ， 故答案为：3 或 7 ．
依据沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当△BDE 是直角三 角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形 的性质，即可得到 CD 的长．
本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴 对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定 理列出方程求出答案．
20. 如图，四边形 OAA B 1 1 是边长为 1 的正方形，以对角
线 OA ，连接 AA ， 1 为边作第二个正方形 OA A B 1 2 2 2
得到△AA A ；再以对角线 OA 1 2 2 为边作第三个正方形 OA A B ，连接 A A ，得到△A A A ；再以对角线 2 3 3 1 3 1 2 3 OA ，得到 3 为边作第四个正方形，连接 A A 2 4
△A A A ……记△AA A 、△A A A 、△A A A 2 3 4 1 2 1 2 3 2 3 4 的面积 分别为 S 、S 、S ，如此下去，则 S2019=______． 1 2 3
【答案】22017
【解析】解：∵四边形 OAA B 1 1 是正方形， ∴OA=AA =A B =1， 1 1 1 ∴S = × 1 × 1= ， 1
2
2
1
1 24
24
24
∵∠OAA1=90°， ∴AO12=12+12=√2， ∴OA =A A =2， 2 2 3 ∴S = × 2 × 1=1， 2
2 1
同理可求：S = × 2 × 2=2，S =4…， 3 4
2
1
∴Sn=2n-2， ∴S2019=22017，
故答案为：22017． 首先求出 S 、S 、S ，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 1 2 3
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到 an 的规律是解题的关键．
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三、解答题（本大题共 8 小题，共 60.0 分）
- ）÷ ，期中 x=2sin30°+1． 21. 先化简，再求值：（ ?+1 ?2?1 ?+1 【答案】解：原式=[ - ]?（x+1） (?+1)(??1) (?+1)(??1) = ?（x+1） (?+1)(??1) =
1 ??1
1
??1
??2
1
??2
1
，
1
当 x=2sin30°+1=2× +1=1+1=2 时， 2
原式=1．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值化简代入计算可 得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系
中，△OAB 的三个顶点 O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上． （1）画出△OAB 关于 y 轴对称的△OA B ，并写出点 A 1 1 1 的坐标； （2）画出△OAB 绕原点 O 顺时针旋转 90°后得到的△OA B ，并写出点 A 2 2 2 的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段 OA 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 π）．
【答案】解：（1）如右图所示， 点 A1 的坐标是（-4，1）； （2）如右图所示，
点 A2 的坐标是（1，-4）； （3）∵点 A（4，1）， ∴OA=√12 + 42 = √17，
∴线段 OA 在旋转过程中扫过的面积是：
90×?×(√17)217?
360
= 4 ．
【解析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并 写出点 A1 的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点 A2 的坐标；
（3）根据题意可以求得 OA 的长，从而可以求得线段 OA 在旋转过程中扫过的面积． 本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意， 利用数形结合的思想解答．
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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交
于点 A（3，0）、点 B（-1，0），与 y 轴交于点 C． （1）求拋物线的解析式；
（2）过点 D（0，3）作直线 MN∥x 轴，点 P 在直线 NN 上且 S△PAC=S△DBC，直接写出点 P 的坐标．
【答案】解：（1）将点 A（3，0）、点 B（-1，0）代入 y=x2+bx+c， 可得 b=-2，c=-3， ∴y=x2-2x-3；
（2）∵C（0，-3）， ∴S△DBC= ×6×1=3，
2 1
∴S△PAC=3，
设 P（x，3），直线 CP 与 x 轴交点为 Q， 则 S△PAC= ×6×AQ， 2
∴AQ=1，
∴Q（2，0）或 Q（4，0）， ∴直线 CQ 为 y= x-3 或 y= x-3， 2 4 当 y=3 时，x=4 或 x=8，
∴P（4，3）或 P（8，3）；
【解析】（1）将点 A（3，0）、点 B（-1，0）代入 y=x2+bx+c 即可；
（2）S△DBC= ×6×1=3=S△PAC，设 P（x，3），直线 CP 与 x 轴交点为 Q，则有 AQ=1，
2 1
3
3
1
可求 Q（2，0）或 Q（4，0），得 ：直 线 CQ 为 y= x-3 或 y= x-3，当 y=3 时，x=4 或 x=8； 2 4 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活转化三角形面 积是解题的关键．
24. “世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学
生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集 到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题： （1）求本次调查中共抽取的学生人数； （2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读 2 本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是______； （4）若该校有 1200 名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于 3 本的 学生有多少人？
3 3
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【答案】72°
【解析】解：（1）本次调查中共抽取的学生人数为 15÷30%=50（人）； （2）3 本人数为 50×40%=20（人），
则 2 本人数为 50-（15+20+5）=10（人）， 补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，阅读 2 本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是 360°× =72°， 50 故答案为：72°；
（4）估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于 3 本的学生有 1200×
20+5 50
10
=600（人）．
（1）由 1 本的人数及其所占百分比可得答案； （2）求出 2 本和 3 本的人数即可补全条形图； （3）用 360°乘以 2 本人数所占比例； （4）利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息 是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映 部分占总体的百分比大小．
25. 小明放学后从学校回家，出发 5 分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，
立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发 10 分钟时，小明才想 起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程 y（米）与小强所用时间 t（分钟）之间的函数图象如图所示． （1）求函数图象中 a 的值； （2）求小强的速度；
（3）求线段 AB 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】解：（1）a= 5 ×（10+5）=900； （2）小明的速度为：300÷5=60（米/分）， 小强的速度为：（900-60×2）÷12=65（米/分）； （3）由题意得 B（12，780），
设 AB 所在的直线的解析式为：y=kx+b（k≠0），
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