把 A（10，900）、B（12，780）代入得： 10? + ? = 900 ? = ?60， { ，解得{ 12? + ? = 780 ? = 1500
∴线段 AB 所在的直线的解析式为 y=-60x+1500（10≤x≤12）． 【解析】（1）根据“小明的路程=小明的速度×小明步行的时间”即可求解；
（2）根据 a 的值可以得出小强步行 12 分钟的路程，再根据“路程、速度与时间”的关 系解答即可；
（3）由（2）可知点 B 的坐标，再运用待定系数法解答即可．
此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的 关键．
26. 如图，在△ABC 中 ，AB=BC，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，AD 与 BE 交于点 F，
BH⊥AB 于点 B，点 M 是 BC 的中点，连接 FM 并延长交 BH 于点 H．
√3
（1）如图①所示，若∠ABC=30°，求证：DF+BH= BD；
3
（2）如图②所示，若∠ABC=45°，如图③所示，若∠ABC=60°（点 M 与点 D 重合）， 猜想线段 DF、BH 与 BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证 明．
【答案】（1）证明：连接 CF，如图①所示： ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴CF⊥AB， ∵BH⊥AB， ∴CF∥BH，
∴∠CBH=∠BCF，
∵点 M 是 BC 的中点， ∴BM=MC，
∠??? =
在△BMH 和△CMF 中，{∠?? = ????? ，
∠??? = ∠??? ∴△BMH≌△CMF（ASA）， ∴BH=CF，
∵AB=BC，BE⊥AC， ∴BE 垂直平分 AC， ∴AF=CF， ∴BH=AF，
∴AD=DF+AF=DF+BH， ∵在 Rt△ADB 中，∠ABC=30°， ∴AD= BD，
3 √3
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∴DF+BH= BD；
3
√3
（2）解：图②猜想结论：DF+BH=BD；理由如下： 同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH， ∵在 Rt△ADB 中，∠ABC=45°， ∴AD=BD， ∴DF+BH=BD；
图③猜想结论：DF+BH=√3BD；理由如下： 同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH， ∵在 Rt△ADB 中，∠ABC=60°， ∴AD=√3BD， ∴DF+BH=√3BD．
【解析】（1）连接 CF，由垂心的性质得出 CF⊥AB，证出 CF∥BH，由平行线的性质得 出∠CBH=∠BCF，证明△BMH≌△CMF 得出 BH=CF，由线段垂直平分线的性质得出
√3
AF=CF，得出 BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH，由直角三角形的性质得出 AD= BD，即
3
可得出结论；
（2）同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH，再由等腰直角三角形的性质和含 30°角的直 角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、垂心的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的 性质、含 30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形 全等是解题的关键．
27. 为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文
具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买 2 个甲种文具、1 个乙种文具共需花 费 35 元；购买 1 个甲种文具、3 个乙种文具共需花费 30 元． （1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共 120 个，投入资金不少于 955 元又不多于 1000 元，设购买甲种文具 x 个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金 W 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？ 最少资金是多少元？ 【答案】解：（1）设购买一个甲种文具 a 元，一个乙种文具 b 元，由题意得： 2? + ? = 35 ? = 15 ，{ ，解得{ ? + 3? = 30 ? = 5
答：购买一个甲种文具 15 元，一个乙种文具 5 元； （2）根据题意得：
955≤15x+5（120-x）≤1000， 解得 35.5≤x≤40， ∵x 是整数，
∴x=36，37，38，39，40． ∴有 5 种购买方案；
（3）W=15x+5（120-x）=10x+600， ∵10＞0，
∴W 随 x 的增大而增大， 当 x=36 时，W =10×36+600=960（元），
最小
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∴120-36=84．
答：购买甲种文具 36 个，乙种文具 84 个时需要的资金最少，最少资金是 960 元． 【解析】（1）设购买一个甲种文具 a 元，一个乙种文具 b 元，根据“购买 2 个甲种文 具、1 个乙种文具共需花费 35 元；购买 1 个甲种文具、3 个乙种文具共需花费 30 元” 列方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式组解答即可；
（3）求出 W 与 x 的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题 的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关 系，找出 w 关于 x 的一次函数关系式．
28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB、BC 的长分别是
一元二次方程 x2-7x+12=0 的两个根（BC＞AB），OA=2OB，边 CD 交 y 轴于点 E， 动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 E 出发沿折线段 ED-DA 向点 A 运动，运
动的时间为 t（0≤t＜6）秒，设△BOP 与矩形 AOED 重叠部分的面积为 S． （1）求点 D 的坐标；
（2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P，使△BEP 为等腰三角形？若存在，直 接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵x2-7x+12=0， ∴x =3，x =4， 1 2 ∵BC＞AB，
∴BC=4，AB=3， ∵OA=2OB，
∴OA=2，OB=1，
∵四边形 ABCD 是矩形， ∴点 D 的坐标为（-2，4）； （2）设 BP 交 y 轴于点 F， 如图 1，当 0≤t≤2 时，PE=t，
∵CD∥AB，
∴△OBF∽△EPF，
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= = ， ∴ ??，即 ?? 4???
?
?? ?? ?? 1
， ∴OF= ?+1
∴S= OF?PE= ? ?t= ； 2 2 ?+1 ?+1
如图 2，当 2＜t＜6 时，AP=6-t，
1
1
4
2?
4
∵OE∥AD，
∴△OBF∽△ABP， = ， ∴ = ??，即
??
6?? 3
6?? ?? ??
?? 1
∴OF= 3 ，
∴S= ?OF?OA= × ×2=- t+2； 2 2 3 3
综上所述，S={ ?+11
1
1 6??
1
(0 ≤ ? ≤ 2)
；
? 3 ? + 2 (2＜?＜6)
2?
（3）由题意知，当点 P 在 DE 上时，显然不能构成等腰三角形； 当点 P 在 DA 上运动时，设 P（-2，m）， ∵B（1，0），E（0，4），
∴BP2=9+m2，BE2=1+16=17，PE2=4+（m-4）2=m2-8m+20， ①当 BP=BE 时，9+m2=17，解得 m=±2√2， 则 P（-2，2√2）；
②当 BP=PE 时，9+m2=m2-8m+20，解得 m= ，
8 11
则 P（-2， ）；
8
11
③当 BE=PE 时，17=m2-8m+20，解得 m=4±√13， 则 P（-2，4-√13）；
综上，P（-2，2√2）或（-2， 8 ）或（-2，4-√13）．
【解析】（1）解方程求出 x 的值，由 BC＞AB，OA=2OB 可得答案；
= ， （2）设 BP 交 y 轴于点 F，当 0≤t≤2 时，PE=t，由△OBF∽△EPF 知??= ??，即4?
??
?
?? ??
?? 1
11
据此得 OF= ，根据面积公式可得此时解析式；当 2＜t＜6 时，AP=6-t，由△OBF∽△ABP ?+1 知 = = ，据此得 OF= 3 ，根据三角形面积公式可得答案； ??，即 ?? 6?? 3
（3）设 P（-2，m），由 B（1，0），E（0，4）知 BP2=9+m2，BE2=1+16=17，PE2=4+
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?? ??
?? 1
6??
4
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