专题 解答重难点题型突破
题型一 简单几何图形的证明与计算
类型一 特殊四边形的探究
1．(2017·开封模拟)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
︵
(2)若BC＝23，E是半圆AGF上一动点，连接AE、AD、DE. 填空：
︵
①当AE的长度是__________时，四边形ABDE是菱形； ︵
②当AE的长度是__________时，△ADE是直角三角形.
2．(2017·商丘模拟)如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．
(1)直接写出ED和EC的数量关系：；
(2)DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
(3)填空：当BC＝__________时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是__________.
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝5 cm，点E从点A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
(1)连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF； (2)填空：
①当t为__________s时，△ACE的面积是△FCE的面积的2倍； ②当t为__________s时，四边形ACFE是菱形.
4．(2017·新乡模拟)如图，AC是?ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：AE＝CF； (2)连接AF，CE.
①当EF和AC满足条件__________时，四边形AFCE是菱形；
②若AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是__________．
类型二 几何问题的证明与计算
1．(2017·周口模拟)如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
(1)求证：AC∥DE；
(2)连接CD，若OA＝AE＝2时，求出四边形ACDE的面积．
2．(2017·湘潭)如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数.
3．(2017·山西)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.
(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长．
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由.
4．(2017·杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.
(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长.
题型一 简单几何图形的证明与计算
类型一 特殊四边形的探究
1．(1)证明：连接OD，如解图， ∵∠BAC＝90°，点D为BC的中点， ∴DB＝DA＝DC，
∵∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∠DAC＝∠C＝30°，而OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝30°，
∴∠ODB＝60°＋30°＝90°， ∴OD⊥BC，又∵OD是⊙O的半径， ∴BD是⊙O的切线；
(2)解：①连接OD、OE，∵△ABD为等边三角形， ∴AB＝BD＝AD＝CD＝3， 在Rt△ODC中，OD＝
3
CD＝1， 3
当DE∥AB时，DE⊥AC，∴AD＝AE， ∵∠ADE＝∠BAD＝60°， ∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝60°，∴∠AOE＝2∠ADE＝120°，∴AB＝BD＝DE＝AE， ∴四边形ABDE为菱形，
120·π·12
此时，的长度＝＝π，
1803
180·π·1
②当∠ADE＝90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时的长度＝＝π，
18060·π·11
当∠DAE＝90°时，DE为直径，∠AOE＝2∠ADE＝60°，此时的长度＝＝π，
18031
所以当的长度为π或π时，△ADE是直角三角形.
32．解：(1)连接CD，如解图，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，
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