3.1.1 直线的倾斜角与斜率
教学目标: 知识与技能
1、 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2、 理解直线的倾斜角的唯一性. 3、 理解直线的斜率的存在性.
4、 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观
察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培
养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机
教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程： 一、复习准备
1. 讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?
2. 在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与
水平面之间的一个什么关系呢? 二、讲授新课：
1. 教学直线倾斜角与斜率的概念：
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
① 直线倾斜角的概念： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角
注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。 讨论:倾斜角的取值范围是什么呢? 0°≤α＜180°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一
条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.. ② 直线斜率的概念：直线倾斜角?的正切值叫直线的斜率.
常用k表示,k?tan?
讨论:当直线倾斜角为90?度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?
斜率为正或负时,直线过哪些象限呢??取值范围是0°≤α＜180°. 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? ③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2),则过这两点的直线的
斜率k?y2?y1 x2?x1思考 :(1)直线的倾斜角?确定后, 斜率k的值与点p1,p2的顺序是否有关? (2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式k?归纳： 对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2) k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. 2. 教学例题:
例1．已知 A（3，2），B（-4，1），C（0，-1）求直线AB、AC、BC的斜率,并判断这些直线
的倾斜角是锐角还是钝角.
例2．在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 ?1,2,?3的直线l1,l2,l3. 例3．已知三点A（a，2）、B（5，1）、C（-4，2a）在同一直线上，求a的值。（三. 巩固与提高练习:
1．教材P86面练习第1、2、3、4题
2．若直线l向上的方向与y轴正方向成30°角，则l的倾斜角为 60° 、l的斜率为
y2?y1还适用吗? x2?x17） 23 。
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的倾斜角为 0° ，
斜率为 0 ，另两边AC、BC所在的直线的倾斜角为 120°、60°，斜率为 （ －3、
3 ） 。
4．当且仅当m为何值时，经过两点A（m，3）、B（-m，2m-1）的直线的倾斜角为60°？ 四.小结
倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式. 五:作业《习案》十七
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