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平方数、奇偶性、位值原理
知识框架
一、 1. 特征
1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。 2. 性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因
数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n?1|N，则p2n|N．
性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一
个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3. 一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
完全平方数常用性质
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5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
4. 重点公式回顾：平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b) 二、
奇数和偶数
1. 定义
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 2. 奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 3. 两个实用的推论
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。 推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶 三、
位值原理
当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝
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给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 a) 位值原理的定义：
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
b) 位值原理的表达形式：
以六位数为例：abcdef?a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 c) 解位值一共有三大法宝：
（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答
重难点
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
例题精讲
【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【巩固】 1234567654321?(1?2?3?4?5?6?7?6?5?4?3?2?1)是 的平方．
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【例 2】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【巩固】 已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。
【例 3】 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。
【巩固】 考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余
各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 .
【例 4】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个
数中最小数的最小值为 ．
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【巩固】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一
个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．
【例 5】 计算111A，求A． 12L31－222142L432=A×
2004个11002个2
2【巩固】 ①444142L434888142L4389?A，求A为多少?
2004个42003个8 ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
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【例 6】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以
5后是5次方数．
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【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【例 7】 一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数
是多少？
【巩固】 一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶
数的和是多少？
【例 8】 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说
明理由。
（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10 （2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27
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【巩固】 是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？
【例 9】 有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、LL、14页和15页
的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？
【巩固】 一本故事书共有30个故事，每个故事分别占1、2、3、…、30页（未必按这个顺
序）。第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_____个故事是从奇数页开始的。
【例 10】 能否将1~16这16个自然数填入4?4的方格表中（每个小方格只填一个数），使
得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．
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【巩固】 有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上
都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3(如图)．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数?
DCABHG2312
1
3
EF
【例 11】 甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与
乙、丙的位置共交换了9次，则比赛的结果甲是第 名．
【巩固】 甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任
意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放
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到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一．
【例 12】 在黑板上写（2，2，2）三个数，把其中的一个2抹掉后，改写成其余两数的和
减1，得（2，2，3），再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减1，得（2，4，3），再把2抹掉后写其余两数的和减1，得（6，4，3），继续这一过程，是否能得到（859，263，597）？
【巩固】 有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋和1000枚同样大小的黑棋子，小
盒内装有足够多的黑棋．康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内．问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？
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【例 1】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数
为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．
【巩固】 几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和
等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。
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【例 2】 一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数
的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的 倍。
【巩固】 有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的
6个三位数中最小的三位数的最小值．
【例 3】 把7位数2ABCDEF变成7位数ABCDEF2，已知新7位数比原7位数大3591333，
聪明的宝贝来求求：（1）原7位数是几，（2）如果把汉语拼音字母顺序编为1～26号，且以所求得原7位数的前四个数字组成的两个两位数2A和BC所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字D，E，F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词。
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【巩固】 设六位数abcdef满足fabcde?f?abcdef，请写出这样的六位数．
课堂检测
【随练1】 A是由2002个“4”组成的多位数，即444142L434，A是不是某个自然数B的平方？如
2002个4果是，写出B；如果不是，请说明理由．
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【随练2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【随练3】 沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植
物上能否一共结有225个浆果?说明理由．
【随练4】 在“8?8”的方格中放棋子，每格至多放1枚棋子．若要求8行、8列、30条斜线
（如图所示）上的棋子数均为偶数．那么“8?8”的方格中最多可以放多少枚棋子？
第11题
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【随练5】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是
1554，那么这3个数字分别是多少？
家庭作业
【作业1】 下面是一个算式：1?1?2?1?2?3?1?2?3?4?1?2?3?4?5?1?2?3?4?5?6，
这个算式的得数能否是某个数的平方？
【作业2】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最
小的正整数．
【作业3】 各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．
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【作业4】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【作业5】 一个偶数的数字和是40,这个偶数最小是 。
【作业6】 黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增
写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？
【作业7】 四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一道给3
分，不答给1分，答错倒扣1分．请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数．
【作业8】 xy，zw各表示一个两位数，若xy+zw=139，则x+y+z+w= 。
【作业9】 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来
的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？
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【作业10】 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加A1111，这里A表示一个看
不清的数码，求这个数和A。
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余数问题
知识框架
【巩固】
带余除法的定义及性质
定义：
【例 4】
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 【例 5】
余数的性质
⑴ 被除数?除数?商?余数；除数?（被除数?余数）?商；商?（被除数?余数）?除数；
⑵ 余数小于除数．
【巩固】
三大余数定理：
1. 余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余
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数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2. 余数的加法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3 －1＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
3. 余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除
以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1
＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同．
【巩固】
弃九法原理
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式1234?1898?18922?678967?178902?889923
1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
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上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所 以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的。
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。 【巩固】
同余定理
4. 定义：
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。 5. 重要性质及推论：
（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除． （17?11）（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 6. 余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．
1) 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数； 2) 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数； 3) 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；
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4) 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； 5) 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；
6) 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
重难点
理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了
例题精讲
【例 1】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．
【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 2】 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。且这个三位数除以5余4，
除以11余3。这个三位数是_
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【巩固】 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数
的3倍，这个自然数是_________.
【例 3】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．
【巩固】 当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？
【例 1】 222142L432除以13所得余数是_____.
2000个\
777???77除以41的余数是多少？ 【巩固】 142431996个7优质文档
【例 4】 著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第
2008个数除以3所得的余数为多少？
【巩固】 有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从
第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是 ．
【例 5】 将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：A＝
13579111315171921……9799101103。则数a共有_____位，数a除以9的余数是___。
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【巩固】 将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此
数除以9的余数是 ________．
【例 6】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整
数是______．
【巩固】 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．
【例 7】 在图表的第二行中，恰好填上89～98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘
积除以11所得的余数都是3．
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【巩固】 求478?296?351除以17的余数．
【例 8】 求1~2008的所有自然数中，有多少个整数a使2a与a2被7除余数相同？
【巩固】 今天是星期四，101000天之后将是星期几？
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【例 9】 22008?20082除以7的余数是多少？
【巩固】 3130?3031被13除所得的余数是多少？
??
【例 10】 3个三位数乘积的算式abc?bca?cab?234235286 (其中a?b?c)， 在校对时，
发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少？
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【巩固】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数
字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。
【例 11】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这
个两位数是______.
【巩固】 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
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【例 12】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
【巩固】 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?
【例 13】
一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a?5、2a、a，求这个自然数和a的值.
【巩固】 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为
a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
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【例 14】 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的
自然数最小为多少？
【巩固】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自
然数是多少？
课堂检测
【随练1】 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是- 。
666666?7的余数是多少？ 【随练2】 142L431995个6
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【随练3】 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个
数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
【随练4】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其
中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．
【随练5】 求31997的最后两位数．
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家庭作业
【作业1】 在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.
【作业2】 有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11。
则c除以b，得到的余数是 。
【作业3】 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，
则被除数是多少？
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L42008【作业4】 已知a?2008200814442443，问：a除以13所得的余数是多少？
2008个2008
【作业5】 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第
一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?
【作业6】 六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，
乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)
【作业7】 求2461?135?6047?11的余数．
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【作业8】 11?22?33?44?LL?20052005除以10所得的余数为多少？
【作业9】 设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为
C，C的各位数字之和为D，那么D?
【作业10】 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．
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数的整除
知识框架
【作业11】 整除的定义：
当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.
【作业12】 常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这
个数能被11整除；
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么
这个数能被7、11或13整除；
5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数
能被9整除；
6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位
则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，
则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
8. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，
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则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
9. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍
数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
10. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍
数，则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
11. 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 12. 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除. 13. 若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整
除。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
三、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，
c︱b，那么c︱(a±b)．
性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，
c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那
么b∣a，c∣a．
性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b
与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m
为非0整数）；
性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜
a ，且d｜c ，那么bd｜ac；
四、其他重要结论
1、 能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未
三位上。我们可以概括成一个性质：未n位数能被2n(或5n)整除的数，本身必能被2n(或5n)整除；反过来，末n位数不能被2n(或5n)整除的数，本身必不能被2n(或5n)整除。
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例如，判断19973216、91688169能否能被16整除，只需考虑未四位数能否被16（因为16=24）整除便可，这样便可以举一反三，运用自如。 2、 利用连续整数之积的性质：
任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被2整除； 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。 这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
3、 一个奇位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的
差一定是9的倍数。
4、 7?11?13?1001；abc?1001?abcabc，abcabc这样的数一定能被7、11、13整除。 5、 91?13?7;133?19?7;481?37?13;13?9?117;37?3?111;37?27?999等等。
重难点
数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
例题精讲
【巩固】 975?935?972?□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小
应填什么数？
【巩固】
从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？
【巩固】 把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰
好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
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【巩固】
所得到的商再除以10……重复这样201?202?203?LL?300的结果除以10，
的操作，在第____次除以10时，首次出现余数.
【巩固】 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的
平均数是多少？
【巩固】
用1～9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4的倍数。
这三个三位数中最小的一个最大是 。
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【巩固】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. 请随便
填出一种，并检查自己填的是否正确。
【巩固】
一个六位数2口口727被3除余l，被9除余4，这个数最小是 。
【巩固】 连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：
1234567891011……20072008，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？
【巩固】
1234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是_________ 。
【巩固】 1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，
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分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?
758624193
【巩固】 207，2007，20007，L等首位是2，个位是7，中间数字全部是0的数字中，
能被27整除而不被81整除的最小数是 。
三、7、11、13系列
【巩固】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的
和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
【巩固】
8ab8ab8ab8ab8ab是77的倍数，则ab最大为_________?
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【巩固】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成
为：5abL4L453ab.如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab是多少？ 1ab45422009个5ab
【巩固】
称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”
去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。这个“两头蛇数”是 。（写出所有可能）
【巩固】 学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的
和，所得结果就是我的年龄。”老师今年 岁。
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【巩固】
已知两个三位数abc与def的和abc?def能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被37整除．
【巩固】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千
位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
【巩固】
一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是
________？
5.
在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?
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【巩固】
将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，
这个6位数除以667的结果是多少？
【巩固】 若4b?2c?d?32，试问abcd能否被8整除?请说明理由．
【巩固】
证明abcde能被6整除，那么2(a?b?c?d)?e也能被6整除．
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6.
甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________．
【巩固】
有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数
之和的最小值是________．
7.
某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？
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【巩固】
用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。要求前1位数能被
2整除，前2位数能被3整除，……，前9位数能被10整除．已知最高位数为8．这个十位数是
8.
在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除．则ABCDEF的
最小值是 ；已知当ABCDEF取得最大值时C?0，F?6，那么ABCDEF的最大值是________．
【巩固】
有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可
被2整除，三位数abc可被3整除，四位数abcd可被4整除，……依此类推，九
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位数abcdefghi可被9整除．请问这个九位数abcdefghi是多少？
9.
N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是 ．
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【巩固】
a，b，c，d各代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数，bcda是11
的倍数，cdab 是9的倍数，dabc是7的倍数，那么abcd是 。
课堂检测
四、
若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是__________
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五、 六位数20□□08能被99整除，□□是多少？
六、
应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数
66L36?55L35可被7整除？ 121250个650个5 七、
王老师在黑板上写了这样的乘法算式:12345679?()?□□□□□□□□□,然
后说道:“只要同学们告诉我你们喜欢1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪个数，我在括号里填上适当的乘数，右边的积一定全由你喜欢的数字组成。”小明抢着说：“我喜欢3。”王老师填上乘数“27”结果积就出现九个3；12345679?(27)?333333333小宇举手说：“我喜欢7。”只见王老师填上乘数“63”，积久出现九个7：
12345679?(63)?777777777，小丽说：“我喜欢8。”那么算式中应填上的乘数
是 .
八、
有四个非零自然数a,b,c,d，其中c?a?b， d?b?c.如果a能被2整除， b能被3整除， c能被5整除， d能被7整除，那么d最小是 ．
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家庭作业
【作业1】 一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了153元，她知道实际收钱不
会错，只能是记账时有一个数点错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是__________元。
【作业2】 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 ．
???4770444???44能被13整除，求О内的数字． 【作业3】 一个19位数771424314239个9个
【作业4】 已知四十一位数55L5□99L9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间
方格内的数字是多少？
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【作业5】 一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把
这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.
【作业6】 小红为班里买了33个笔记本。班长发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹
模糊，只看到9□□3元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过95元，她实际用了 元。
【作业7】 1a87a2是2008的倍数．a?_________
【作业8】 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然
数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．
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【作业9】 若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是多少？
【作业10】 0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，
最大的一个是（ ）。
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质数合数、约数倍数
知识框架
一、 质数与合数
做质数（也叫做素数）。
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个； 除了2其余的质数都是奇数；
除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.
二、 判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数. 例如：149很接近144?12?12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.
常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、
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163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．
三、 约数、公约数与最大公约数概念
叫做a的约数；
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就
(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1. 求最大公约数的方法
? 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以(231,252)?3?7?21；
21812? 短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以
32(12,18)?2?3?6；
? 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的
最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公约数：1515?600?2L315；600?315?1L285；
315?285?1L30；285?30?9L15；30?15?2L0；所以1515和600的最大公约数是15．
2. 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．
3. 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；4. 约数、公约数最大公约数的关系
b即为所求． a优质文档
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
四、 倍数的概念与最小公倍数
【例 15】 公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这
些倍数就叫做它们的公倍数
【例 16】 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
1. 倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
2. 求最小公倍数的方法
分解质因数的方法；
例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以?231,252??22?32?7?11?2772； 短除法求最小公倍数；
21812例如：396 ，所以?18,12??2?3?3?2?36；
32[a,b]?a?b． (a,b)3. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
4. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；
35[3,5]15b即为所求．例如：[,]??
412(4,12)4a注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：?14??1,4??2,3???2,3??4 ??5. 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的；
（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
五、 最大公约数与最小公倍数的常用性质
【例 2】
两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m为A、B的最大公约数，且A?ma，B?mb，那么a、b互质，所以A、
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所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： B的最小公倍数为mab，
①A?B?ma?mb?m?mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是A、B、A?B、A?B及最小公倍数的约数． 【例 3】
两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 【例 4】
对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5?6?7?210，210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：6?7?8?336，而6,7,8的最小公倍数为336?2?168
注：性质3不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字
乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
六、 求约数个数与所有约数的和
【解析】 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为23?52?7，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 【解析】 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：21000?23?3?53?7，所以21000所有约数的和为
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(1?2?22?23)(1?3)(1?5?52?53)(1?7)?74880
此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
重难点
（1）特殊质数2、5，质数的个位数特征
（2）要注意观察约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
（3）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为
△☆?△☆?...?△☆的结构，而且表达形式唯一”
例题精讲
【例 1】 在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（ ）.
（A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【巩固】
大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和
3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？
【例 2】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到
这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中a?b，而且ab和ba都是质数(a和b是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？
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【巩固】
自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是
质数，这样的自然数有多少个？
【例 3】 一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的
数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为
【巩固】
三位数A满足：它的所有质因数之和是26。这样的三位数A有 个。
【例 4】 用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当
作9，也不许把9倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________．
【巩固】
如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？
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【例 5】 a、b、c都是质数，如果?a?b???b?c??342，那么b? 。
【巩固】
【例 6】 将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是
多少？
a，c都是质数，并且a?b?33， c?d?66，那么cd? ____ 。 b，b?c?44，
【巩固】
将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质
数是多少？
【例 7】 有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是
______。
【巩固】
万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字
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的和，那么这个数是几？
【例 8】 用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数(1不算)除1及它本身以
外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？
【巩固】
将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A
最小是几？
A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）
【例 9】 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________.
【巩固】
一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
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【例 10】 两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不
等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？
【巩固】
若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，
则它们的最大公约数的最大值为 ，最小公倍数的最小值为 ，最小公倍数的最大值为 ．
【例 11】 在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？
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【巩固】 恰有8个约数的两位数有________个．
【例 12】 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；
如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？
【巩固】 加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,
第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）
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111【例 13】 一次考试，参加的学生中有
7得优，3得良，2得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？
【巩固】 一次考试，参加的学生中有
17得优，114得良，3得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？
【例 14】 两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问a＋b有多少种可能的数值?
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【巩固】 已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。
求b与c的最小公倍数。
【例 15】 如图，在长500米、宽300米的长方形广场的外围，每隔2.5米摆放一盆花，现
要改为每隔2米摆放一盆花，并且广场的4个顶点处的花盆不动，则需增加___盆花；在重新摆放花盆时，共有___盆花不用挪动。
【巩固】 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开
始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？
课堂检测
【作业11】 炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学
家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整
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数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，k?3时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：
而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．
【作业12】 用0-9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和
最小是 。
【作业13】 用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质
数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．
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【作业14】 三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值
为 ．
【作业15】 甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80
米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？
家庭作业
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【作业1】 图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格
中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．
甲填“和数”5812...............质数列23571113...8997乙填“积数”61535...............
问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?
【作业2】 从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可
以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？
【作业3】 已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值
为
【作业4】 用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之
和的最小值是________．
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【作业5】 某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把
它们写出来.
【作业6】 将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出
的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
【作业7】 少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接
着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有 个小朋友。
【作业8】 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、
外圈沿同样的方向跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长中圈跑道长
1千米，5113千米，外圈跑道长千米.甲每小时跑3千米，乙每小时跑4千米，428丙每小时跑5千米.问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点?
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【作业9】 甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的
最小公倍数是126，那么甲数是多少?
【作业10】 如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B
转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？
ABC
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特殊数博览会
知识框架
九、 十、
特殊数的尾数特征 位值原理的综合运用
十一、 约数倍数之间的关系
特殊数是竞赛中经常遇到的，这些题目中我们要注意认真读题，仔细思考。
重难点
例题精讲
【例 1】 下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数
字．美?妙数学?数数妙，美+妙数学=妙数数。美妙数学?___________
【作业1】
北京有一家餐馆，店号“天然
居”，里面有一副著名对联：客上天然居，居然天上客。巧的很，这副对联恰好能构成一个乘法算式(见右上式)。相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。“天然居”表示成三位数是_______。
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客上天然居×4居然天上客
【例 2】 如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表0～9 中的一个数字，相同的汉
字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为________
?学而思杯学而思杯
【作业2】 如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为1，3，5，7，9，11，13
这七个数的平均数，那么“学习改变命运”代表的多位数是 ．
学习改变命运?变 1999998
【例 3】 右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、3、4、5、6、7、8和9，不
同的汉字代表不同的数字，如果“北”和“京”分别代表1和9，请写出“奥运会”所代表的所有三位整数，并且说明理由。
北奥运会 ?京心想事成优质文档
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【作业3】 右面算式中的每个“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个，每个“偶”字代表
0、2、4、6、8中的一个，为使算式成立，求出它们所代表的值。
偶偶偶偶偶偶偶0偶偶偶偶奇奇奇偶
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【例 4】 “迎杯×春杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相
同的汉字表示相同的数字。那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?
【作业4】
在下面的算式中，每一个汉字代表
一个数字，不同的汉字表示不同的数字，当“开放的中国盼奥运”代表什么数时，算式成立？盼盼盼盼盼盼盼盼盼÷□=开放的中国盼奥运
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【例 5】 下面的算式中，同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，团团
×圆圆=大熊猫则“大熊猫”代表的三位数是______.
【作业5】 在如图所示的乘法算式中，汉字代
表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字．若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数． 祝贺?华杯赛?第十四届
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【例 6】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花
园”代表的6位数最小为 ．
0美数?花好好好207妙学 园好
【作业6】
下面算式由1～9中的8个组成，
相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是__________.
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【例 7】 2008年奥运会在北京举行。“奥”、“运”、 “会”、“北”、“京”这五个
汉字代表五个连续的自然数，将其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥”+“运”+“会”=“北”+“京”。这五个自然数的和最大是 。
奥北运京会
【作业7】
“美妙的数学花园”这7个字各代
表1~7中的一个数，并且每个圆中4个数的和都是15。如果学比美大，美比园大，那么，园表示 。
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【例 8】
右式中不同的汉字代表l一9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?
中国新北京＋2新奥运008
【作业8】
华杯赛网址是wwwhuabeisai..cn，将其中的字母组成如下算式：
www?hua?bei?sai?cn?2008，如果每个字母分别代表0～9这十个数字中的一
个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且w?8、h?6、
a?9、c?7，则三位数bei的最小值是 ．
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【例 9】 已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即abcba?45?deed），
那么这个五位回文数最大的可能值是________．
【作业9】
如果一个数，将它的数字倒排后所
得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，有哪些？
【例 10】 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有
两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从优质文档
这31位同学中至少需要选出 人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．
【作业16】 在如图所示的九宫图中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线
上各数的和相等。已知中＝21，学＝9，欢＝12，则希，望，杯的和是__________ 。
中希受小望欢学杯迎
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【例 1】 称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇
数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。这个“两头蛇数” 。（写出所有可能）
【作业17】 一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，
3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？
【例 2】
算式“
111＋＋＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋希望杯杯”＝ 。
【作业18】 如果某整数同时具备如下三条性质：① 这个数与1的差是质数，②这个数除
以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数
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【例 3】 如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么
最大的智康数是几？
【作业19】 如果一个至少两位的自然数N满足下列性质：在N的前面任意添加一些数字，
使得得到的新数的数字和为N，但无论如何添加，这样得到的新数一定不能被N整除，则称N为“学而思数”。那么最小的“学而思数”是 。
【例 4】 若三位数abc（其中a,b,c都是非零数字）满足ab?bc?ca，则称该三位数为
“墨龙数”，那么共有___________个“墨龙数”．
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【作业20】 “水仙花数”是指这样的数,其各位数字的立方和等于该数本身.求两位数中有
没有水仙花数？
【例 5】 若某个三位数的三次方的末三位是888，则称这个三位是吉祥3位数，请你写出
所有吉祥三位数？
【作业21】 若一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，
求最小的“千禧数”。
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课堂检测
【随练1】 如图是一个等式：等式中的汉字代表数字，不同的汉字代表不同的数字，每个汉
字是1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个，问：“学而思五年级”所代表的六位整数是什么？学而思杯×5=五年级试题×4
【随练2】 称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角
数，又是完全平方数，N= 。
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【随练3】
若一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数。例如：6的约数有1、2、3、6，它的真因子之和1+2+3=6，则6是完美数，第二个完美数是几？
【随练4】 王老师在黑板上写了这样的乘法算式：12345679×（ ）=_____________,然后
说道：“只要同学们告诉我你喜欢1，2，3，4，5，6，7，8，9中的哪个数，我在括号里填上适当的乘数，右边的积一定全由你喜欢的数字组成．” 小明抢着说：“我喜欢3．”王老师填上乘数“27”，结果积就出现九个3,12345679×（27）=333333333,
小宇说：“我喜欢7．”只见王老师填上乘数“63”，积就出现九个7：12345679×（63）=777777777
小丽说：“我喜欢8．”那么算式中应填上的乘数是12345679×（ ）=_____________
家庭作业
【巩固】 下页算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，则符合题
意的数“华罗庚学校赞”是什么？
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赞华×华罗罗庚庚学学校校好赞
【巩固】 右边是一个六位乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字
表示相同的数，其中的六位数是______ 。
小学希望9杯赛赛×99999
【巩固】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为
“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？
【巩固】 一个六位数abcdef，如果满足4?abcdef?fabcde，则称abcdef为“迎春数”(如
4?102564?410256，则102564就是“迎春数”).请你求出所有“迎春数”的总
和.
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【巩固】
若用相同汉字表示相同的数字，不同汉字表示不同的数字，则下列算式中，学习好勤动脑?5=勤动脑学习好?8“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多
少？
【巩固】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，L的排列规律是前两个数是1，
从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前2009个数中共有几个偶数？
【巩固】
如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就
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称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。
【巩固】 在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的。如果十进
制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，那么20进制中读音是“dew ha naw
ugens”的数指的是十进制中的数__________
【巩固】 人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，数学家把一对存
在特殊关系的数称为“亲和数”。 如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。请问220有亲和数吗？如果有是多少？
【巩固】 一个n位正整数，它由1、2...n这n个数字排列而成，如果它的前K个数字组
成的k位数能被k整除，就称n为幸运数，问这样的六位幸运数有哪几个？
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