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江苏省南通市崇川区启秀中学2018-2019年九年级(上)期中数学试卷 含解析

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江苏省南通市崇川区启秀中学2018-2019年九年级(上)期中数学试卷 含解析

【分析】(1)连接OC,如图,先证明OC∥AD,然后利用切线的性质得OC⊥DE,从而得到AD⊥ED;

(2)OC交BF于H,如图,利用圆周角定理得到∠AFB=90°,再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4,∠CHF=90°,利用垂径定理得到BH=FH=4,然后利用勾股定理计算出AB,从而得到⊙O的半径. 【解答】(1)证明:连接OC,如图, ∵AC平分∠BAD, ∴∠1=∠2, ∵OA=OC, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∴OC∥AD, ∵ED切⊙O于点C, ∴OC⊥DE, ∴AD⊥ED;

(2)解:OC交BF于H,如图, ∵AB为直径, ∴∠AFB=90°, 易得四边形CDFH为矩形, ∴FH=CD=4,∠CHF=90°, ∴OH⊥BF, ∴BH=FH=4, ∴BF=8, 在Rt△ABF中,AB=

=2

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∴⊙O的半径为.

25.(12分)如图,⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB.

(1)求证:EA是⊙O的切线;

(2)已知点B是EF的中点,求证:以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似.

【分析】(1)连接CD,由AC是⊙O的直径,可得出∠ADC=90°,由角的关系可得出∠

EAC=90°,即得出EA是⊙O的切线;

(2)连接BC,由AC是⊙O的直径,可得出∠ABC=90°,由在RT△EAF中,B是EF的中点,可得出∠BAC=∠AFE,即可得出△EAF∽△CBA. 【解答】(1)证明:如图1,连接CD,

∵AC是⊙O的直径, ∴∠ADC=90°, ∴∠ADB+∠EDC=90°,

∵∠BAC=∠EDC,∠EAB=∠ADB,

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∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°, ∴EA是⊙O的切线.

(2)证明:如图2,连接BC,

∵AC是⊙O的直径, ∴∠ABC=90°, ∴∠CBA=∠ABC=90° ∵B是EF的中点, ∴在RT△EAF中,AB=BF, ∴∠BAC=∠AFE, ∴△EAF∽△CBA.

26.(13分)如图,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂直为D,圆E是△ACD的内切圆,切点分别为M,N,F,连接AE,BE; (1)求∠AEB的度数;

(2)若AD=DB,CD=3,求扇形CAB的弧长和圆E的半径.

【分析】(1)连接EC.首先证明∠AEC=135°,再证明△EAC≌△EAB即可解决问题; (2)连接BC、EF、EM、EN、DE,证明△ABC是等边三角形,得出∠BAC=60°,由直角三角形的性质得出AD=

CD=,得出AB=AC=2,由弧长公式求出扇形CAB的弧

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长,由切线的性质和三角形面积即可求出圆E的半径为【解答】解:(1)连接EC.如图1所示: ∵E是△ADC的内心,∠ADC=90°, ∴∠ACE=∠ACD,∠EAC=∠CAD,

∴∠AEC=180°﹣(∠ACD+∠CAD)=135°,

在△AEC和△AEB中,∴△EAC≌△EAB(SAS), ∴∠AEB=∠AEC=135°;

(2)连接BC、EF、EM、EN、DE,如图2所示: ∵CD⊥AB,AD=DB, ∴AC=BC, ∵AC=AB, ∴AB=AC=BC, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°, ∴∠ACD=30°, ∴AD=

CD=, ,

∴AB=AC=2

∴扇形CAB的弧长为

∵圆E是△ACD的内切圆,切点分别为M,N,F, ∴EF⊥AD,EN⊥CD,EM⊥AC,EM=EF=EN, ∵CD⊥AB,

∴△ACD的面积=△ACE的面积+△ADE的面积+△CDE的面积, 即×

×3=×2

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×EM+×

×EF+×3×EN,

解得:EF=即圆E的半径为

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