2019-2020第二学期4月份北京市海淀区期中数学试卷(含答案)

于是xP?xQ，所以PQ?x轴. yP?yQ??4y04y0 ?2y0?x0?22y0+x0?24y0(4y0?4)4y0(4y0?4)??2. 22(2y0?x0?2)(2y0+x0?2)(2y0?2)?x0故PQ中点在定直线y?1上. 从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以BP?BQ， 所以△BPQ为等腰三角形.

（21）解：（Ⅰ）①数列?an?具有“性质?(2)”；

②数列?an?不具有“性质?(2)”. （Ⅱ）先证“充分性”：

当数列?an? 具有“性质?(2)”时，有a2n?1?a2n?2an又因为an?1?an，

所以0?a2n?an?an?a2n?1?0，

进而有an?a2n 结合an?1?an有an?an?1?????a2n,

即“数列?an?为常数列”； 再证“必要性”：

若“数列?an?为常数列”， 则有a2n?1?a2n?2a1?2an，

即“数列?an? 具有“性质?(2)”. （Ⅲ）首先证明：an?1?an?2.

因为?an?具有“性质?(4)”， 所以a2n?1?a2n?4an.

当n?1时有a2=3a1?3. 又因为a2n?1,a2n,an?N*且a2n?a2n-1，

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所以有a2n?2an?1,a2n?1?2an?1, 进而有2an?1?a2n?a2n?1?1?2an?1?2， 所以2(an?1?an)?3,

结合an+1,an?N*可得：an?1?an?2. 然后利用反证法证明：an?1?an?2. 假设数列?an?中存在相邻的两项之差大于， 即存在k?N*满足：

a2k?1?a2k?3或a2k+2?a2k+1?3， 进而有

4(ak?1?ak)?(a2k?2+a2k+1)?(a2k+a2k?1) =(a2k?2?a2k)+(a2k+1?a2k?1)

=?(a2k?2?a2k?1)+(a2k+1?a2k)?+?(a2k+1?a2k)?(a2k?a2k?1)??9. 又因为ak?1?ak?N*， 所以ak?1?ak?3

依次类推可得：a2?a1?3，矛盾，

所以有an?1?an?2. 综上有：an?1?an?2， 结合a1?1可得an?2n?1，

经验证，该通项公式满足a2n?1?a2n?4an， 所以：an?2n?1.?

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