线性代数习题参考答案

§5 内积与正交向量组

1． 试用施密特法把下列向量组正交化

?1??1??1??????? （1）?1??1?, ?2??2?, ?3??4?；

?1??3??9????????1???1??1??1??

?1????1??1???1??,??6?????2??2?21?1??2???3?1???0? ?1,?1?3??1??1????????3??3??3,?1?,??1?32?1,?1?2,?2?1??3?11?1????????1482??????? ?2??4?1?0????3??2???3??9??1??1?????????1?????3?2． 设?，?是n维向量，且???，证：???2??＋?。

22 （提示：根据模与内积的关系以及内积的性质证明） 证明：

???????,?????,???,???,???,?

2又????所以

2?,???,??0

22??????,???,?????

3． 证明：???????R, ??????－??。

证明：

???R, ??????－??????R, ????,?????????,???? ????R, ????,?????????,????

????R, ?,???,????,????,????,???,???????,?????,???????R, ?,??2??,???2?,???,??2??,???2?,? ????R, 4??,??0???? 49

第四章

线性方程组

§1 线性方程组的一般理论

1． 判断题

（1）Ax?b有解的充要条件有三种：①R(A)?R(A)；②b能由A?(a1,a2,?，an)的列向量组线性表出；③向量组a1,a2,,an与向量组a1,a2,,an,b等价。

（ ? ）

（2）Ax?0有非零解的充要条件是A的列向量组的秩小于n（n是未知数的个数）。

（ ? ）

（3）若Ax?b(b?0)有无穷多解，则Ax?0有非零解。 （ ?） （4）若Ax?0有非零解，则Ax?b(b?0)必有无穷多解。 （ ? ） 2． 选择题

（1）A为m?n阶矩阵，齐次线性方程组Ax?0有无数个解，则必有 D 。 （A）m?n； （B）R(A)?m； （C）A中有两列对应元素成比例； (D) A的列向量组线性相关。

Am?nx?0有无数个解?Am?nx?0有非零解?R?Am?n??n?A的列向量组线性相注：

关

（2）A为m?n阶矩阵，非齐次线性方程组Ax?b的解不唯一，则下列结论正确的是

D 。

（A）m?n； （B）R(A)?m； （C）A为零矩阵； (D) Ax?0的解不唯一。 注： Ax?b的解不唯一?Ax?0的解不唯一，反之不成立，因为Ax?0的解不唯一时Ax?b无解。但Ax?0的解不唯一是Ax?b的解不唯一必要条件。

（3）已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，?1,?2是非齐次线性方

k1,k2?R，程组Ax?b导出方程组的基础解系，则方程组Ax?b的通解必是B 。

（A）k1?1?k2(?1??2)? （C）k1?1?k2(?1??2)?注：（A）k1?1?k2(?1??2)?

?1??22； （B）k1?1?k2(?1??2)?； （D）k1?1?k2(?1??2)?不是Ax?b特解

?1??22；

?1??22中

?1??22。

?1??22?1??2250