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(完整word)解三角形高考大题-带答案

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解三角形高考大题,带答案

1. (宁夏17)(本小题满分12分)

如图,∠ACB?90,BD交AC于E,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,

oAB?2.

(Ⅰ)求cos∠CAE的值; (Ⅱ)求AE.

解:(Ⅰ)因为∠BCD?90?60?150,

oooD E A C CB?AC?CD,

所以∠CBE?15.

ooB

o所以cos∠CBE?cos(45?30)?(Ⅱ)在△ABE中,AB?2, 由正弦定理

6?2. ···················································· 6分 4AE2?.

sin(45o?15o)sin(90o?15o)o故AE?2sin30?cos15o2?126?24?6?2. 12分

2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处,已知AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO、BO、OP,设排污管道的总长为ykm。

(1)按下列要求写出函数关系式:

①设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数关系式; ②设OP=x(km),将y表示成x的函数关系式;

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。

P D C

【解析】:本小题考查函数的概念、

解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

A (1)①由条件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad),则OA?故OB?O B AQ10?,

cos?BAOcos?10 cos?1010??10?10tan? cos?cos?又OP?10?10tan?,所以y?OA?OB?OP?所求函数关系式为y?20?10sin??10cos?(0????4)

②若OP=x(km),则OQ=10-x,所以OA?OB?(10?x)2?102?所求函数关系式为y?x?2x2?20x?200x2?20x?200 (0?x?10)

?10cos?cos??(20?10sin?)(?sin?)10(2sin??1)(2)选择函数模型①,y'? ?22cos?cos?1??令y'?0得sin?? Q0??????

246???当??(0,)时y'?0,y是θ的减函数;当??(,)时y'?0,y是θ的增函数;

664120?10??2?10?103?10 所以当??时,ymin?632此时点O位于线段AB的中垂线上,且距离AB边3. (辽宁17)(本小题满分12分)

在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c?2,C?(Ⅰ)若△ABC的面积等于3,求a,b; (Ⅱ)若sinB?2sinA,求△ABC的面积. 解:(Ⅰ)由余弦定理得,a?b?ab?4, 又因为△ABC的面积等于3,所以22103km处。 3?. 31······················· 4分 absinC?3,得ab?4. ·

2?a2?b2?ab?4,联立方程组?解得a?2,b?2. ·············································· 6分

ab?4,?(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为b?2a, ························································· 8分

?a2?b2?ab?4,2343联立方程组?解得a?,b?.

33?b?2a,所以△ABC的面积S?123absinC?. ····················································· 12分 234.(全国Ⅰ17)(本小题满分12分)

设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB?3,bsinA?4. (Ⅰ)求边长a;

(Ⅱ)若△ABC的面积S?10,求△ABC的周长l. 解:(1)由acosB?3与bsinA?4两式相除,有:

3acosBacosBbcosB????cotB 4bsinAsinAbsinBb又通过acosB?3知:cosB?0, 则cosB?34,sinB?, 551acsinB,得到c?5. 2则a?5. (2)由S?a2?c2?b2由cosB?,

2ac解得:b?25, 最后l?10?25.

5.(全国Ⅱ17)(本小题满分10分) 在△ABC中,cosA??53,cosB?. 135(Ⅰ)求sinC的值;

(Ⅱ)设BC?5,求△ABC的面积.

512,得sinA?, 131334由cosB?,得sinB?. ··········································································· 2分

5516所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?. ····································· 5分

6545?BC?sinB5?13. ·(Ⅱ)由正弦定理得AC?·········································· 8分 ?12sinA3131113168所以△ABC的面积S??BC?AC?sinC??5??···················· 10分 ?. ·

223653解:(Ⅰ)由cosA??6. (上海17)(本题满分13分)

如图,某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处,小区里 有两条笔直的小路AD,DC,且拐弯处的转角为120.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径OA的长(精确到1米). C

【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意,得

AoCD=500(米),DA=300(米),∠CDO=60……………………………4分120 在?CDO中,CD?OD?2?CD?OD?cos60?OC,……………6分

220200O即500??r?300??2?500??r?300??221?r2,…………………….9分 2解得r?4900?445(米). …………………………………………….13分 110【解法二】连接AC,作OH⊥AC,交AC于H…………………..2分 由题意,得CD=500(米),AD=300(米),?CDA?120………….4分

在?ACD中,AC2?CD2?AD2?2?CD?AD?cos1200 12?500?300?2?500?300??700,222CHA1200∴ AC=700(米) …………………………..6分

AC2?AD2?CD211cos?CAD??.………….…….9分

2?AC?AD14在直角14?HAO中,AH?350(米),cos?HA0?∴ OA?O11, 14AH4900??445(米). ………………………13分

cos?HAO11222. (重庆17)(本小题满13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)

设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b?c?a?3bc,求: (Ⅰ)A的大小;

(Ⅱ)2sinBcosC?sin(B?C)的值. 解:(Ⅰ)由余弦定理,a?b?c?2bccosA,

222b2?c2?a23bc3故cosA???,2bc2bc2

所以A??6. (Ⅱ) 2sinBcosC?sin(B?C)

?2sinBcosC?(sinBcosC?cosBsinC)?sinBcosC?cosBsinC ?sin(B?C)

?sin(??A)1?sinA?.28. 在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知c?2,C?⑴若△ABC的面积等于3,求a,b;

?3.

⑵若sinC?sin(B?A)?2sin2A,求△ABC的面积.

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