专题16二次函数的存在性问题
【典例分析】
【考点1】二次函数与相似三角形问题
2y?ax?bx?3与x轴分别交于A(?3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于【例1】已知抛物线
点C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
k?①如图1，设
AF1CF?ADAD，当k为何值时，2.
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与?ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
2y?ax?2x?c经过A(?1,0)，B两点，【变式1-1】如图，抛物线且与y轴交于点C(0,3)，
抛物线与直线y??x?1交于A，E两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得?AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直
接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与?ABE相似，求点P的坐标．
【变式1-2】如图，已知抛物线
相交于点C，且点A在点B的左侧. （1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
y??1(x?2)(x?m)m(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴
【考点2】二次函数与直角三角形问题 【例2】如图，抛物线
y?ax2?bx?c?a?0?的顶点坐标为
?2,?1?，图象与y轴交于点
C?0,3?，与x轴交于A、B两点．
?1?求抛物线的解析式；
?2?设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求VACD的面积；
?3?点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点
E使VDEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
2y?m(x?1)?4m（m?0）A(?1，，0)B(3，0)x【变式2-1】如图，经过轴上两点的抛物线
交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题： （1）用含m的代数式表示出C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理由。
2y?x?2x?m?1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如【变式2-2】已知抛物线
图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形； （3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线y，且与x轴的左半轴交于E点，与y
??轴交于F点，如图．请在抛物线y上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形？
【考点3】二次函数与等腰三角形问题
【例3】如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．
（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2y?ax?bx?3与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）【变式3-1】如图，抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】如图，抛物线
两点，且抛物线经过点
.
与直线
相交于
（1）求抛物线的解析式； （2）点交直线①当
② 是否存在点
是抛物线上的一个动点（不与点于点
. 时，求使
点坐标；
为等腰三角形，若存在请直接写出点
的坐标，若不存在，请说
、点
重合），过点
作直线
轴于点
，
明理由.
【考点4】二次函数与平行四边形问题
【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于
3（0，﹣2），顶点为P．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
，经过A（0，﹣4），
B（，0），C（，0）三点，且．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，抛物线
交轴与点
，交抛物线于点(1)求抛物线(2)连接
，
.
的表达式；
，当四边形
，连接
是平行四边形时，求点，
，当点
的坐标；
为顶
，点
与直线是直线
交于
，作
两点，直线轴交
于点
上的动点，过点
(3)①在轴上存在一点运动到什么位置时，以
点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；
②在①的前提下，以点的最小值.
为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求
【达标训练】
一、单选题
1．将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ ）
3A．2个单位 B．1个单位 1C．2个单位 D．2个单位
2y??x?2x?3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点，2．如图，抛物线
PCD是以CD为底的等腰三角形，则tan?CDP的值为（ ）若V．
1+21?2A．2或2 B．2?1或2?1
2?12?1C．2或2 D．1?2或1?2
二、填空题
2y?x?1的顶点为C，直线y?x?1与抛物线交于A，B两点．M是3．如图，抛物线
G为顶点的三角形与VABCM，抛物线上一点，过M作MG?x轴，垂足为G．如果以A，
相似，那么点M的坐标是________．
4．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点
P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当△PAC
为直角三角形时点P的坐标 ．
5．如图，已知抛物线
y??x?2??12 与 x 轴交于A、C两点，与
y 轴交于点B，在
抛物线的对称轴上找一点Q，使△ABQ成为等腰三角形，则Q点的坐标是____.
6．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点C，点D（0，2），点M是抛物线上的动点．若△MCD是以CD为底的等腰三角形，则点M的坐标为_____．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果四边形ABMP是平行四边形，则点M的坐标为______．
8．已知抛物线y＝（x﹣2）2，P是抛物线对称轴上的一个点，直线x＝t分别与直线y＝x、抛物线交于点A，B，若△ABP是等腰直角三角形，则t的值为_____．
9．将抛物线
y1?x2向右平移2个单位,得到抛物线
y2的图象.P是抛物线
y2对称轴上的一
个动点,直线x?t平行于y轴,分别与直线y?x、抛物线
y2ABP是以点交于点A、B.若VA或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t? ______ .
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