《平面向量》测试题
一、选择题
1.若三点 P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（ ） A.x=-1
B.x=3
C.x=
9
2
D.x=51
2.与向量 a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k）
B.(- ,- )
5 4
C.(-10,2) D.(5k,4k)
3.若点 P 分 AB 所成的比为 ，则 A 分 BP 所成的比是（ ） A.
k
3 4
k
7 3
3
3
B.
7 3
C.- D.-
7 7
4.已知向量 a、b，a·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量 a 与 b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120°
5.若|a-b|= 41 ? 20 3 ,|a|=4,|b|=5，则向量 a·b=（ ）
A.10 3
B.-10 3
C.10 2
D.10
6．(浙江)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量 c 满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则 c＝( 77 7777 77A.， B.－，－ C.， D.－，－ 9 3 3 9 3 9 9 3
7.已知向量 a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x）·b 与 b 垂直，则 x 的值为（ ）
()23 3
()()C.2
())
A.
B. 3
D.-
2 5
23
8. 设点 P 分有向线段 P1 P2 的比是λ，且点 P 在有向线段 P1 P2 的延长线上，则λ的取值范围是（ ）
A.(-∞,-1) B.(-1,0)
9. 设四边形 ABCD 中，有 DC = C.(-∞,0) D.(-∞,-
1 2
)
1
AB ，且| AD |=| BC |，则这个四边形是（ ） 2
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10. 将 y=x+2 的图像 C 按 a=(6,-2)平移后得 C′的解析式为（ ）
A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11. 将函数 y=x2+4x+5 的图像按向量 a 经过一次平移后，得到 y=x2 的图像，则 a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12. 已知平行四边形的 3 个顶点为 A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第 4 个顶点 D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题
13. 设向量 a=(2,-1)，向量 b 与 a 共线且 b 与 a 同向，b 的模为 2 5 ， 则 b= 。
14.已知：|a|=2,|b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15. 已 知 |a|=3,|b|=5， 如 果 a∥b， 则 a·b= 。
16.在菱形 ABCD 中，（ AB + AD ）·（ AB - AD ）= 。
1
三、解答题
17. 如图，ABCD 是一个梯形，AB∥CD，且 AB=2CD，M、N 分别是 DC、AB 的中点，
已知 AB =a, AD =b,试用 a、b 分别表示 DC 、 BC 、 MN 。
18．设 a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)， 求证 a 与)1( b 不共线，并求 a 与 b 的夹角的余弦值；(2)求 c 在 a 方向上的投影； (3)求 λ1 和 λ2，使 c＝λ1a＋λ2b.
19. 设 e1 与 e2 是两个单位向量，其夹角为 60°，试求向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2 的夹角θ。
以原点 O 和 A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，∠B=90°，求点 B 的坐标和 AB 。
21 .
20. 已知| a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60o, c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? kb ,当当实数 k 为何值时，⑴ c ∥
d ⑵ c ? d
2. 已知△ABC 顶点 A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点 M 内分 AB 所成的比为 3，N 是 AC 边上的一点，
且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半，求 N 点的坐标。
2
文科数学 [平面向量]单元练习题
一、选择题
1．(全国Ⅰ)设非零向量 a、b、c、满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( ) A．150 B．120° C．60° D．30° 2．(四川高考)设平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则 a－2b 等于( ) A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3)
→ → → → → →
3．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用 a，b 表示AD，则AD等于( )
3 1 3 1 1 3 1 A．a＋ b B. a＋ b C. a＋ b D. a＋ b
4 4 4 4 4 4 4 4．(浙江)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量 c 满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则 c＝( ) 77 7777 77A.， B.－，－ C.， D.－，－ 9 3 3 9 3 9 9 3 5．(启东)已知向量 p＝(2，x－1)，q＝(x，－3)，且 p⊥q，若由 x 的值构成的集合 A 满足 A?{x|ax＝2}， 则实数 a 构成的集合是( )
2 2
A．{0} B．{ } C．? D．{0， }
3 3
3
6．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A、B、C 的对边，如果 2b＝a＋c，B＝30°，△ABC 的面积为 ，则 b 等
2
于( )
1＋ 3 2＋ 3
33 C. D．2＋ A. B．1＋ 2
2
7．(银川模拟)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与 B 的距离为( )
3a km D. 2a km A．2a km B．a km C.
→ → → → → → →
8．在△ABC 中，若 BC2＝AB·BC＋CB·CA＋BC·BA，则△ABC 是( )
()()()()→
|PA|
→ → →
10．已知 D 为△ABC 的边 BC 的中点，在△ABC 所在平面内有一点 P，满足PA＋BP＋CP＝0，设 ＝λ，
→ |PD|
则 λ 的值为( )
1 1
B. C．2 D.
2 4
二、填空题 11．设向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量 λ a＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线，则 λ .
|a|
12．(皖南八校联考)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，若向量 c＝a＋b，且 c⊥a，则 ＝ .
|b|
13．已知向量 a＝(tanα，1)，b＝( 3，1)，α∈(0，π)，且 a∥b，则 α 的值为 ． 14．(烟台模拟)轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120°，两船的航行速度分别为 25 n mile/h、15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是 n mile. 15．(江苏高考)满足条件 AB＝2，AC＝ 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 ． 三、解答题
16．设 a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，
(1)求证 a 与 b 不共线，并求 a 与 b 的夹角的余弦值； (2)求 c 在 a 方向上的投影； (3)求 λ1 和 λ2，使 c＝λ1a＋λ2b.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形9．已知等腰△ABC 的腰为底的 2 倍，则顶角 A 的正切值是( )
3 15 15 A. B. 3 C. D. 2 8 7
3
17．如图，已知 A(2,3)，B(0,1)，C(3,0)，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，且 DE 平分△ABC 的面积， 求点 D 的坐标．
π3
18．(厦门模拟)已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosα，sinα)，α∈，π.
2 2
→ → (1) 若|AC|＝|BC|，求角 α 的值；
2sin2α＋sin2α → → (2) 若AC·BC＝－1，求 的值．
1＋tanα
()
π
19．(南充模拟)在△ABC 中，已知内角 A＝ ，边 BC＝2 3，设内角 B＝x，周长为 y.
3
(1) 求函数 y＝f(x)的解析式和定义域； (2) 求 y 的最大值及取得最大值时△ABC 的形状．
20．(福建高考)已知向量 m＝(sinA，cosA)，n＝3，－1)，m·n＝1，且 A 为锐角． ( (1)求角 A 的大小；
(2)求函数 f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．
21．在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC.
→ →
(1)若 a＝3，b＝4，求|CA＋CB|的值；
π → → → → → →
(2)若 C＝ ，△ABC 的面积是 3，求AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值．
3
4
《平面向量》测试题
参考答案
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0 17.[解] 连结 AC
1 1 1
DC = AB = a,…… AC = AD + DC = b+ a,……
2 2 2
1 1
BC = AC - AB = b+ a-a= b- a,……
2 2
1
NM = ND + DM = NA + AD + DM = b- a,……
4
1
MN =- NM = a-b。……
4
18．【解析】 (1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与 b 不共线． 又 a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝ 2，|b|＝5，
2 a·b －1
∴cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－ .
|a||b| 5 2 10
a·c －7 7
(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c 在 a 方向上的投影为 ＝ ＝－ 2.
|a| 2 2
(3)∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)， ∴Error!，解得Error!.
2+4e1·e2+e 2=7,∴|a|= 19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e 1 2
7 。 2
2+ e1·e2+2e 2=- 7 ， 同理得|b|= 7 。又 a·b==（2e1+e2）·(-3e1+2e2,)=-6e 1 2
7
1 a· b 2 =- ,∴θ=120°. = ∴ cosθ=
7 ? 7 2 | a |· | b |
?
20.[解] 如图 8，设 B(x,y),
则OB =(x,y), AB =(x-4,y-2)。
∵∠B=90°，∴ OB ⊥ AB ，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即 x2+y2=4x+2y。①
设 OA 的中点为 C，则 C(2,1), OC =（2，1）， CB =(x-2,y-1)
5
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