轴于点H，过H作直线l交抛物线于A，B两点，且|BF|=2|AF|． （Ⅰ）求直线AB的斜率； （Ⅱ）若△ABF的面积为
，求抛物线的方程．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，易知AF=AA1，BF=BB1，求出A，H的坐标，即可求直线AB的斜率； （
Ⅱ
）
若
△
ABF
的
面
积
为
，
可
得
，即可求抛物线的方程．
B两点作准线的垂线，B1，【解答】解：（Ⅰ）过A，垂足分别为A1，易知AF=AA1，BF=BB1，
∵|BF|=2|AF|，∴|BB1|=2|AA1|，∴A为HB的中点，又O是HF的中点， ∴AO是△BHF的中位线，∴∴∴
，
，∴
，而，而
，∴
，
； …
（Ⅱ）∵A为HB的中点，O是HF的中点， ∴∴
，
∴
p=2
，
∴
抛
， 物
线
的
方
程
为
y2=4x． …
21．已知函数f（x）=lnx+ax﹣x2（0＜a≤1） （I）
时，求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的方程
（II）设函数f（x）单调递增区间为（s，t）（s＜t），求t﹣s的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）利用导数的几何意义求出切线的斜率f′（1），再计算f（1），代入点斜式方程化简即可；
（II）令f′（x）＞0可得2x2﹣ax﹣1＜0，根据二次函数的性质及根与系数的关
系可得s=0，t=【解答】解：（Ⅰ）∵又
，
，再利用函数单调性和a的范围得出t﹣s的最大值．
，∴
，
∴y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y+=﹣（x﹣1），即（Ⅱ）
，
．
令f′（x）＞0得2x2﹣ax﹣1＜0，
∵△=a2+8＞0，∴2x2﹣ax﹣1=0有两根x1，x2（x1＜x2）， 又
，
，
∴（s，t）=（0，x2），则
而在（0，1]上单调递增，
∴a=1时，取得最大值1，
∴a=1时t﹣s取得最大值1．
22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+O点）
（I）求证：|OB|+|OC|=（II）当φ=
|OA|；
（t为参数，
与曲线M交于A，B，C三点（异于
时，直线l经过B，C两点，求m与α的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（I）利用极坐标方程，即可证明：|OB|+|OC|=（II）当φ=
|OA|；
时，直线l经过B，C两点，求出B，C的坐标，即可求m与α
的值． 【
解
答
】
（
Ⅰ
）
证
明
：
由已知：
∴
（Ⅱ）解：当代入曲线
M
时，点B，C的极角分别为的方程得点
…
，
的极径分别为：
B，C
∴点B，C的直角坐标为：则直线l的斜率为由∴
23．设f（x）=|2x|+|x+a|
（I）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤4的解集； （II）当f（x）=|x﹣a|时，求x的取值范围．
…
，方程为
，
，与x轴交与点（2，0）；
，知α为其倾斜角，直线过点（m，0），
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（I）当a=﹣1时，，即可求不等式f（x）≤4的解
集；
（II）当f（x）=|x﹣a|时，可得2x（x+a）≤0，分类讨论，求x的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
当x≤0时，由f（x）≤4得﹣1≤x≤0； 当0＜x≤1时，由f（x）≤4得0＜x≤1； 当x＞1时，由f（x）≤4得
；
综上所述，当a=﹣1时，不等式f（x）≤4的解集为； …
（Ⅱ）∵f（x）=|2x|+|x+a|≥|2x﹣（x+a）|=|x﹣a|，∴2x（x+a）≤0， 当a=0时，x=0； 当a＞0时，﹣a≤x≤0； 当a＜0时，0≤x≤﹣a．…
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