【附3套模似卷】安徽省安庆市2019-2020学年高考数学模拟试题(1)含解析

22．已知数列?an?满足a1?a31?，且an?n?1?n?1?n?2,n?N?.

222（1）求证：数列2an是等差数列，并求出数列?an?的通项公式；

n??（2）求数列?an?的前n项和Sn. 【答案】（1）证明见解析，an?【解析】 【分析】 （1）将等式an?nn2n?52n?1S?5?2. ；（）nnn22an?11?n?1变形为2nan?2n?1an?1?2，进而可证明出?2nan?是等差数列，确定数列22nn?2a?的首项和公差，可求得2a【详解】 （1）因为an?的表达式，进而可得出数列?an?的通项公式；

（2）利用错位相减法可求得数列?an?的前n项和Sn.

an?11?n?1n?2,n?N?，所以2nan?2n?1an?1?2，即2nan?2n?1an?1?2， 22??n所以数列2an是等差数列，且公差d?2，其首项2a1?3

??所以2an?3?(n?1)?2?2n?1，解得an?（2）Sn?n2n?1； 2n3572n?12n?1?2?3?????n?1?n，① 22222Sn3572n?12n?1?2?3?4?????n?n?1，② 2222221?1?2???1?n?1?S31?2n?134?2?2n?1?5?2n?5?11①?②，得n??2??2?3?????n??n?1??， ?n?1n?1122222?222?221?2所以Sn?5?【点睛】

本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

2n?5. 2nx2y223．已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的焦距是22，点P是椭圆C上一动点，点M,N是椭圆C上

ab关于原点O对称的两点（与P不同），若直线PM,PN的斜率之积为?1. 2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

2（Ⅱ）A,B是抛物线C2:x?4y上两点，且A,B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C,D两

点，求VOCD的面积的最大值.

x2y2【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2 ??1；

42【解析】 【分析】

（Ⅰ）设点P,M,N的坐标,表达出直线PM,PN的斜率之积,再根据P,M,N三点均在椭圆上,根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.

（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m,根据直线PM,PN的斜率之积为?的方程,表达出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可. 【详解】

2y1?y2y1?y2y12?y21??2??, （Ⅰ）设P?x1,y1?,M?x2,y2?,N??x2,?y2?则2x1?x2x1?x2x1?x2222x1?x2y1?y2y1?y2bx12y12x2y2b21??0???,, 又2?2?1,2?2?1,故即???22aba2b2x12?x2a2aba21可得m?1,再联立直线与椭圆22222222故a2?2b2,又2c?22?a2?b2?2,故a?4,b?2.

22x2y2故椭圆的标准方程为??1.

42（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m,A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?,B?x4,y4?, 由??y?kx?m? x2?4kx?4m?0,故x1?x2?4k,x1x2??4m 2?x?4yxxxx2,故y'?,因为A,B处的切线相互垂直故1?2??1?m?1. 又C2:y?2224故直线AB的方程为y?kx?1.

?y?kx?1???1?2k2?x2?4kx?2?0 联立?x2y2?1??2?4故x3?x4??故SVOCD4k2,xx??. 341?2k21?2k211??1?x1?x2?22SVOCD??x1?x2?2?4x1x2,代入韦达定理有SVOCD?2?4k2?1 21?2k设t?4k2?1?1,则

22?t22221???22t??1时取等号. .当且仅当1t?1t?1t2t?tt故VOCD的面积的最大值为2. 【点睛】

本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题,需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.