第五讲 机械振动和机械波
§5．1简谐振动
?
?F如果一个物体受到的回复力回与它偏离平衡位置的位移x大小成正比，方向相反。即满足：
5．1．1、简谐振动的动力学特点
F回??Kx的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的加速度a?F回K??mm，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小
P成正比，方何相反。
现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。
当物体运动到离O点距离为x处时，有
式中
x F回?F?mg?k(x0?x)?mg
x0为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有kx0?mg，因此
图5-1-1
F回?kx
说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。因回复力指向平衡位置O，而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。
注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。 5．1．2、简谐振动的方程
由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置OA?为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点?0xO在参考圆上以角速度?作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟x轴夹角为?0,那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟
x的夹角就成为
图5-1-2
???t??0，它在x轴上的投影点的坐标
x?Acos(?t??0) （2）
这就是简谐振动方程，式中?0是t=0时的相位，称为初相：?t??0是t时刻的相位。 参考圆上的质点的线速度为A?，其方向与参考圆相切，这个线速度在x轴上的投影是
0） （3）
这也就是简谐振动的速度
v??A?cos(?t??参考圆上的质点的加速度为A?，其方向指向圆心，它在x轴上的投影是
2a??A?cos(?t??0） （4）
2这也就是简谐振动的加速度
由公式（2）、（4）可得
a???2x
由牛顿第二定律简谐振动的加速度为
a?Fk??xmm
因此有
?2?km （5）
简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以
T?2?m?2??wk
5．1．3、简谐振动的判据
物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动： ①物体运动中所受回复力应满足 F??kx；
2②物体的运动加速度满足 a???x；
0。 ③物体的运动方程可以表示为
事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的，由它可以导出另外两个条件②和③。 §5.2 弹簧振子和单摆
简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。 5．2．1、弹簧振子
弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振
k子的运动是简谐振动，振动周期
x?Acos(?t??)T?2?mk。
mk（1）恒力对弹簧振子的作用
比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同（如图5-2-1），则它们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。
m图5-2-1
如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长l0，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长
?l=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降t??s,然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长?l随时间t变化的图线。
由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期
因为k?mg/?l，所以
T?2?/??2?/km
T?2??lg?0.2?(s)
因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为
n?t/T??/0.2??5(次)
当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在
的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在
的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是?l/2。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么?l~t图线将是怎样的？
（2）弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为k1、
?l1?1mg/k??l/22
?l2?3mg/k?3?l/22
?l2?l ?l ? OT2?tk2……kn的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个
图5-2-2
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