离散数学作业6
姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业．
要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：
1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．
2. 在线提交word文档
3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．
一、填空题
1．命题公式P?(Q?P)的真值是 1 ．
2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习. 则命题“如
果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 P∨Q→R ．
3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式PQ的主析取范式是 (PQ┐R) ∨(PQR) ．
4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ? x ( P ( x) ∧ Q ( x)) ．
5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式?xA(x)??yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) ∨A(b)) ∨ (B(a) ∧B(b)) ．
6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为 0 ．
7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 y ．
8．谓词命题公式(?x)(P(x) ?Q(x) R(x，y))中的约束变元为 x ．
三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 解：
设P：今天是天晴 则该语句符号化为 P
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 设P：小王去旅游，Q：小李也去旅游 则该语句符号化为 P∧Q
3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P：明天天下雪 Q：我就去滑雪 则该语句符号化为 P→Q
4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 解：设P：他去旅游 Q：他有时间 则该语句符号化为 P→Q
5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 解：设P(x)：x是人 Q(x)：x不去工作 则谓词公式为 (?x)(P(x)∧Q(x))
6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人 Q(x)：x努力工作 则谓词公式为 (?x)(P(x) →Q(x))
四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．命题公式PP的真值是1．
不正确，┐P∧P的真值是0，它是一个永假式，命题公式中的否定律就是┐P∧P=F
2．命题公式P(PQ)P为永真式． 正确
可以化简┐P∧（P→┐Q）∨P=┐P∧（┐P∨┐Q）∨P=┐P∨P=1，所以它是永真式
当然方法二是用真值表
3．谓词公式?xP(x)?(?yG(x,y)??xP(x))是永真式． 正确
?xP(x) →(?yG(x,y) →?xP(x)) =?xP(x) →(┐?yG(x,y) ∨?xP(x)) =?xP(x) →(?y(┐G(x,y)) ∨?xP(x)) =┐?xP(x) ∨(?y(┐G(x,y)) ∨?xP(x)) =┐?xP(x) ∨?y(┐G(x,y)) ∨?xP(x) =┐?xP(x) ∨?xP(x) ∨?y(┐G(x,y)) =1∨?y(┐G(x,y)) =1
所以该式是永真式
4．下面的推理是否正确，请给予说明．
(1) (x)A(x) B(x) 前提引入 (2) A(y) B(y) US (1)
不正确，(1)中()x的辖域仅是A(x)，而不是A(x) B(x)
四．计算题
1． 求P?Q?R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式． 解：┐P?(Q∨R）= ┐P?Q∨R
所以合取范式和析取范式都是┐P?Q∨R
所以主合取范式就是┐P?Q∨R
所以主析取范式就是(PQ Q R) (PQ R) (PQ R)
2．求命题公式(P解：(PQ)
其中(PQ)= (R)
其中(RQ)= (R
PQ)
Q) (P
(R
Q)(R
R) (P R) (P
QQ R) R) (P (PQ
Q)(RQ) 的主析取范式、主合取范式． (P
Q)
(RPQ
Q)= (Q R)
P R) (QP(Q) PQ R)
(RQ R) (
P
Q)=
R)= (P)= (P
所以原式=(PQ R) (PQ R) (P
Q R)
=(PQ R) (PQ R) (P = (PQ R) (PQ R) (Pm7
这就是主析取范式
所以主合取范式为M0 M1 M4 M5 M6 可写为(PQR) (PQR) (PQR) (PQR)
Q R) Q R)=m2
m3
R) (PQ
3．设谓词公式(?x)(P(x,y)?(?z)Q(y,x,z))?(?y)R(y,z)． （1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
解：(1)量词?x的辖域为 P(x,y) (z)Q(y,x,z) 量词z的辖域为Q(y,x,z) 量词y的辖域为R(y,x)
(2) P(x,y)中的x是约束变元，y是自由变元
Q(y,x,z)中的x和z是约束变元，y是自由变元 R(y,x)中的x是自由变元，y是约束变元
4．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式yxP(x,y)消去量词后的等值式；
解： yxP(x,y)= xP(x, a1) xP(x, a2)
=( P(a1, a1) P(a2, a1)) ( P(a1, a2) P(a1, a2))
五、证明题
1．试证明 (P(QR))PQ与 (PQ)等价． 证：(P?(Q??R))??P?Q?(?P?(Q??R))??P?Q ?(?P?Q??R)??P?Q
?(?P??P?Q)?(Q??P?Q)?(?R??P?Q) ?(?P?Q)?(?P?Q)?(?P?Q??R) ??P?Q （吸收律） ??(P??Q) （摩根律）
2．试证明(
x)(P(x) R(x))(
证明：
(1) (x)(P(x) R(x)) P (2) P(a) R(a) ES(1) (3) P(a) T(2) (4) (x)P(x) EG(3) (5) R(a) T(2) (6) (x) R(x) EG(5) (7) (x)(P(x) R(x)) T(4)(6)
x)P(x) (x)R(x)．
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