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高等数学基础试题类型
高等数学基础试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和应用题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；计算题或应用题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。四种题型分数的百分比为：单项选择题20%，填空题20%，计算题44%，应用题16%。
期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。
高等数学基础模拟题 一、单项选择题
e?x?exy?2 1.函数的图形关于（A）对称．
(A) 坐标原点 (B) x轴 (C) y轴 (D) y?x
2.在下列指定的变化过程中，（C）是无穷小量．
xsin (A)
1x(x??) (B)
sin1x(x?0) (C) ln(x?1)(x?0) (D) e1x(x??)
f(x0?2h)?f(x0)?x0h?0f(x)2h 3.设在可导，则（C）．
2f?(x0)?f?(x0)f?(x0)?2f?(x0)lim (A)
(B)
(C)
(D)
1f(lnx)dx?f(x)dx?F(x)?c??x 4.若，则（B）．
11F(lnx)?cF()?cx (A) F(lnx) (B) F(lnx)?c (C) x (D)
5.下列积分计算正确的是（D）．
?(A)
1?1xsinxdx?0? (B)
0??e?xdx?1? (C)
0??sin2xdx?π
? (D)
1?1xcosxdx?0
6.设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（A）对称． (A) y?x (B) x轴 (C) y轴 (D) 坐标原点 7.当x?0时，变量（C）是无穷小量．
1sinxxxe?1 (D) x2 xx (A) (B) (C)
f(1??x)?f(1)lim?xf(x)?e?x?0?x 8.设，则（B）． 11eee (A) 2e (B) (C) 4 (D) 2
dxf(x2)dx?? 9.dx（A）．
11f(x)dxf(x)22xf(x)xf(x)dx 22 (A) (B) (C) (D)
-可编辑修改-
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10.下列无穷限积分收敛的是（B）．
?(A)
??0edxx
?(B)
??0edx?x
?(C)
??11dxx (D)
???1x1dx
二、填空题（每小题3分，共15分）
y? 1.函数
ln(x?1)4?x2的定义域是 (?1,2) ．
1?x?x?0f(x)??(1?x)?x2?kx?0? 2.若函数，在x?0处连续，则k? e ． 3f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是 3 ． 3.曲线
4.函数y?arctanx的单调增加区间是 (??,??) ．
5.若
?f(x)dx?sinx?c，则f?(x)?
?sinx ．
9?x2y?ln(x?1)的定义域是 ?x|1?x?3,x?2? ． 6.函数
?x?1x?0y???sinxx?0的间断点是 x?0 ． 7.函数
1 8.曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是 2 ．
2y?(x?1)?1的单调减少区间是 9.函数
???,?1?
．
10.
?(sinx)?dx?
?C ． sixn 三、计算题（每小题11分，共44分）
sin(x?1)sin(x?1)1sin(x?1)lim?lim??lim2x??1(x?1)(x?1)x??12 x2?1． 解：x??1x?1 1.计算极限
xxy?cose?3 2.设，求dy．
xxxxxxxdy?d(cose?3)?d(cose)?d(3)??sined(e)?3ln3dx 解：
xxxxxx??esinedx?3ln3dx?(?esine?3ln3)dx
edx2? 3.计算不定积分x．
1xe1uu1xdx??ed()??edu??e?c2?????ex?c xx 解：由换元积分法得
1x1?4.计算定积分
e1lnxdxe．
eee11?解：由分部积分法得
1lnxdx?xlnx1??xd(lnx)?e??dx?1
-可编辑修改-
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sin6xsin6x6166lim?lim6x????x?0sin5xx?0sin5xsin6x5155lim5x 5.计算极限x?0sin5x．解：．
2x?y?sinx?2 6.设，求y．
y???sin2x????2x???2sinx?sinx???2xln2?2sinxcosx?2xln2 解：
7.计算不定积分
?xcos3xdx．
sin3xsin3x??sin3x??xcos3xdx?xdx?x???xdx?????333?? 解： sinx31sin3x1??sinx3xd?x??cos3x?C3333
e2?lnxdx?1x8.计算定积分．
?x? 解：
?e1e2?lnxdx???2?lnx?d(2?lnx)1x
2
四、应用题（本题16分）
2?lnx???2?|e?12?lenln15????2??2 22221、某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为
S?2πr2?2πrh?2πr2?S??4πr?2Vr2
2Vr
由S??0，得唯一驻点
3r?3V2πr?3，由实际问题可知，当
V2πh?3时可使用料最省，此时
4Vπ，即当容器的底
半径与高分别为
V2π3与
4Vπ时，用料最省．
2、 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h，与底半径r满足 h?r?l 圆柱体的体积公式为 V??rh 将r?l?h代入得求导得
2222222V???l2?h2?h
V????2h2??l2?h2????l2?3h2???-可编辑修改-
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令V??0得
典型例题
h?3663lr?lr?lh?l3，并由此解得3，即当底半径为3，高3时，圆柱体得体积最大。
lim例1 计算极限
x?1sin(x?1)x2?2x?3．
sinx?1x?0x解 利用重要极限，及极限的运算法则得
sin(x?1)sin(x?1)1sin(x?1)lim2?lim?lim?x?1x?2x?3x?1(x?3)(x?1)x?1(x?3)(x?1)
1sinx(?1)11??lim??1?x?1lim(x?3)(x?1)4 x?1 4x2?x?6lim2例2 计算极限x?3x?7x?12．
lim解：利用极限的运算法则得
(x?2)x2?x?6(x?3)(x?2)limx?3lim2?lim???5x?3x?7x?12x?3(x?3)(x?4)lim(x?4)x?3y?例3 设
x?lnxsinx，求y?．
3
解：利用导数的运算法则得
x3?lnx(x3?lnx)?sinx?(x3?lnx)(sinx)?y??()??sinxsin2x
1(3x2?)sinx?(x3?lnx)cosx33[(x)??(lnx)?]sinx?(x?lnx)cosxx??22sinxsinx 2?例4 设y?lnsinx，求y．
解：设u?sinx，v?x得
22v v?x y?lnu u?sin利用复合函数求导法则，得
22??uv??v???y??(lnsinx2)?x?yu?(lnu)(sinv)(x)?xxuvcosx1?2xtanx2?cosv?2x?2x2sinx u
x4例5 设y?y(x)是由方程lny?e?y确定的函数，求dy．
2
?解：利用导数运算法则和复合函数求导法则，等式两端分别对x求导得
1y?y 左：
(ex?y4)?x?(ex)?x?(y4)?x?ex?(y4)?y?y?(lny)?x?(lny)?y?y?? 右：
x3?e?4y?y?
-可编辑修改-
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yex1x3y??y??e?4y?y?41?4yy由此得 整理得 yexdy?dx41?4y由微分定义得
edx2?x例6 计算．
解：利用换元积分法得
1x1x
e1x1xdx???edx??ed(?x2?x2?x) 1?u??eudu??eu?cx1x11
??e?c
x 例7 计算??lnxdx．
解：利用分部积分法得
x??1x??1x??1?xlnxdx??lnxd(??1)???1lnx????1d(lnx)
x??11??11?lnx?xdx???1??1x
??1??1xxx??11lnx??c?lnx?x?dx????1(??1)??1 ??1
2例8 求曲线y?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．
?2y?2x上的点到点A(2,0)的距离公式为 解：曲线
d?(x?2)2?y2
2d与d2在同一点取到最小值，为计算方便求d2的最小值点，将y?2x代入得
d2?(x?2)2?2x
2(d)??2(x?2)?2 令
222?y??2(d)?0y?2x上的点(1,2)和点dx?1x?1令得．可以验证是的最小值点，并由此解出，即曲线
(1,?2)到点A(2,0)的距离最短．
高等数学基础第一次作业 （一） 单项选择题
⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
22f(x)?(x)g(x)?xf(x)?x A. ， B. ，g(x)?x
x2?1g(x)?3f(x)?lnxg(x)?3lnxf(x)?x?1x?1 C. ， D. ，
-可编辑修改-
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