期末高等数学上试题及答案 

第一学期期末高等数学试卷

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)

x3?12x?16求极限　lim3x?22x?9x2?12x?4

2、(本小题5分)

求?xdx.(1?x2)2

1x

3、(本小题5分)

求极限limarctanx?arcsinx??4、(本小题5分)

求?xdx.1?x

5、(本小题5分)

d求dx?x201?t2dt．

6、(本小题5分)

求?cot6x?csc4xdx.7、(本小题5分)

求?2?1?11cosdx．2xx

8、(本小题5分)

t2?dy?x?ecost设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint

9、(本小题5分)

求?x1?xdx．03

10、(本小题5分)

求函数　y?4?2x?x2的单调区间

11、(本小题5分)

求??20sinxdx．8?sin2x

12、(本小题5分)

设　x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．

13、(本小题5分)

设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求14、(本小题5分)

dy．dx

求函数y?2ex?e?x的极值

15、(本小题5分)

(x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)

16、(本小题5分)

...

求?cos2xdx.1?sinxcosx

二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.

2、(本小题7分)

x2x3求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28

三、解答下列各题

( 本大题6分 )

设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根.

一学期期末高数考试(答案)

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)

3x2?12解:原式?lim2x?26x?18x?12

6x　　　?limx?212x?18

　　　?2

2、(本小题3分)

x?(1?x2)2dx 21d(1?x)?2?(1?x2)2

11???c.21?x2

3、(本小题3分)

因为arctanx??2而limarcsinx??故limarctanx?arcsinx??1?0x

1?0x

4、(本小题3分)

x?1?xdx

1?x?1???dx1?x

dx???dx??1?x ??x?ln1?x?c.

5、(本小题3分)

...

原式?2x1?x4

6、(本小题4分)

64cotx?cscxdx?

2???cotx(1?cotx)d(cotx)11??cot7x?cot9x?c.79

7、(本小题4分)

6

11?原式???1cosd()xx?1??sinx22

??1

??1

8、(本小题4分)

dye2t(2sint?cost)解：　　?dxet(cost2?2tsint2)

et(2sint?cost)　　　　　?(cost2?2tsint2)

9、(本小题4分)

令　1?x?u

2原式?2?(u4?u2)du1

uu2?)153 116?15 ?2(10、(本小题5分)

53函数定义域(??,??) y??2?2x?2(1?x)当x?1，y??0

???,1?当x?1，　y??0函数单调增区间为?1,??? 当x?1，y??0函数的单调减区间为11、(本小题5分)

?原式???20dcosx9?cos2x

?13?cosx2??ln63?cosx0 1?ln26

12、(本小题6分)

dx?x?(t)dt

13、(本小题6分)

　?e?kt?(4??3k)cos?t?(4k?3?)sin?t?dt

2yy??2y??6x5y

...

3yx5y??2y?1

14、(本小题6分)

定义域(??，??),且连续

1y??2e?x(e2x?)2 11驻点：x?ln22

由于y???2ex?e?x?0

11故函数有极小值,,y(ln)?2222

15、(本小题8分)

1111(1?)2?(2?)2?(3?)2???(10?)2xxxx原式?limx??11(10?)(11?)xx

10?11?21?6?10?117?2

16、(本小题10分)

解:?cos2xcos2xdx??dx1?sinxcosx11?sin2x2

d(1sin2x?1)2??1?1sin2x2 1?ln1?sin2x?c2

二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)

设晒谷场宽为x,则长为L?2x?512米,新砌石条围沿的总长为x512　　(x?0)x 512L??2?2　　　唯一驻点　x?16x 1024L???3?0　　　即x?16为极小值点x

512故晒谷场宽为16米,长为?32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省

2、(本小题8分)

x2x3解:　?,8x2?2x3　x1?0,x1?4.28

2344?x4xx2?x62Vx????()?()?dx???(?)dx008?464?2...

11117??(?x5??x)456470 11512??44(?)??5735

三、解答下列各题

( 本大题10分 )

4证明:f(x)在(??,??)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.又f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?0

则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在?1?(0,1),?2?(1,2),?3?(2,3)使f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0即f?(x)?0至少有三个实根,又f?(x)?0,是三次方程,它至多有三个实根,

由上述f?(x)有且仅有三个实根

参考答案

一．填空题（每小题3分，本题共15分） 1、e 2、k=1． 3、

6x 4、y?1 5、f(x)?2cos2x 1?x二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：limx?0x12x14?x?2?lim?lim? x?0sin2xsin2x(4?x?2)2x?0sin2x(4?x?2)811ex?1?xex?1ex12.解 ：lim(?x )?lim?lim?lim?x?0xe?1x?0x(ex?1)x?0ex?1?xexx?0ex?ex?xex2cosx23、解： lim?te?dt1x?0x21?sinxe?cos?limx?02x2x??1 2e4、解：y??x?1?x2(1?11?x2)?11?x2

1dy1?t21?? 5、解：

2tdx2t1?t2...

dyddy?()dx2dtdx2dxdt12?2t?1?t2??3 2t4t21?t6、解：

1212212sin(?3)dx??sin(?3)d(?3)?cos(?3)?C ?x2x2?x32xxxecosxdx?cosxde ??7、 解：

?excosx??exsinxdx?excosx??sinxdex

?excosx?exsinx??excosxdx

?ex(sinx?cosx)?C

8、解：

?f(x?1)dx??021?1f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx…

?1001??1dxdx??01?x ?11?ex0ex1??(1?)dx?ln(1?x) x0?11?e0?1?ln(1?e)x0?1?ln2

?1?ln(1?e?1)?ln(1?e)

四．

应用题（本题7分）

22解：曲线y?x与x?y的交点为（1，1）， 于是曲线y?x与x?y所围成图形的面积A为

22211A??(x?x)dx?[x2?x2]1? 03330213A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：

?y2y5?324V???(y)?ydy???????

5?010?201??1五、证明题（本题7分） 证明： 设F(x)?f(x)?x，

...

显然F(x)在[,1]上连续，在(,1)可导， 且 F()?1212121?0，F(1)??1?0. 212由零点定理知存在x1?[,1]，使F(x1)?0. 由F(0)?0，在[0,x1]上应用罗尔定理知，至少存在一点

??(0,x1)?(0,1)，使F?(?)?f?(?)?1?0，即f?(?)?1…

...