学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中A出现k次的概率为( )
A．1－pk C．1－(1－p)k
B．(1－p)kpn－k
kn－k
D．Ck n(1－p)p
【解析】 A出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得A出现k
kn－k
次的概率为Ck. n(1－p)p
【答案】 D
1
2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为4，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )
1
A.16 45
C.512
135B.512 27D.1 024
【解析】 此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以131352????????P＝C5·?4?·?4?＝512.
【答案】 B
3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A至少发生1次的65
概率为81，则事件A在1次试验中出现的概率为( )
1
A.3 5
C.6
2B.5 3D.4 2
3
651
【解析】 设所求概率为p，则1－(1－p)4＝81，得p＝3. 【答案】 A
2
4．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是3，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于( )
2019A.27 B.27 1817C.25 D.25
?2?4?【解析】 甲队获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时P1＝??3?＝9；2?2812?1－3?×＝，故甲队获胜的概率P＝P1二是甲以2∶1获胜，此时P2＝C2×3×???3274820
＋P2＝9＋27＝27. 【答案】 A
1??5，?5．若随机变量ξ～B?3??，则P(ξ＝k)最大时，k的值为( ) A．1或2 C．3或4
k2
B．2或3 D．5
5－k
?1??2????【解析】 依题意P(ξ＝k)＝Ck×5??3?×?3?
，k＝0,1,2,3,4,5.
32808040
可以求得P(ξ＝0)＝243，P(ξ＝1)＝243，P(ξ＝2)＝243，P(ξ＝3)＝243，P(ξ101
＝4)＝243，P(ξ＝5)＝243.故当k＝2或1时，P(ξ＝k)最大．
【答案】 A 二、填空题
6．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，1??n，?则摸球次数X是随机变量，且X～B?2??.
【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
【答案】 ①②
7．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且1
只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为2.其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率是________．
【解析】 设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋A B”，且事件A、B相互独立．
所以P(AB＋A 1
【答案】 2
8．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)
【解析】 由已知可求通项公式为an＝10－2n(n＝1,2,3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概421率为10＝5，取得负数的概率为2.
26?1?2?????∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C3×?5?×?＝?2?25. 2
1??1?111?
1－2??1－2?＝. B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝2×2＋?????2
1
6
【答案】 25 三、解答题
9．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．
1
【解】 由已知每位参加保险人员选择A社区的概率为，4名人员选择A
3社区即4次独立重复试验，
X P 0 1681 1 3281 2 2481 3 881 4 181 10.甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获3
胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为5，2
乙队获胜的概率为5，且每局比赛的胜负是相互独立的．
(1)求甲队以3∶2获胜的概率； (2)求乙队获胜的概率．
[能力提升]
1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局
者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是
( )
A．0.216 C．0.432
B．0.36 D．0.648
【解析】 甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p1＝0.62＝0.36；
1
二是甲以2∶1获胜，此时p2＝C2×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p＝p1
＋p2＝0.648.
【答案】 D
2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
【解析】 当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，39???所以P(ξ＝12)＝C11?8??
【答案】 B
5
3．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝9，则P(Y≥1)＝________.
【导学号：29472066】
25【解析】 因为X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C0(1－p)＝9，2
9
?5?3
?8?. ??8
2
1
解得p＝3. 193
又Y～B(3，p)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C03(1－p)＝. 27
19
【答案】 27
4．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
【解】 (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
1所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝. 3
X的分布列如下：
X P
0 827 1 49 2 29 3 127
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