2019版高考数学二轮复习第1篇专题7解析几何第3讲第2课时最值与范围问题学案

第二课时 最值与范围问题

考向一 圆锥曲线中的最值问题

【典例】 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2． (1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；

(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程． [思路分析]

总体 设计 看到：求直线方程和最值问题． 想到：直线方程的几种形式及构建关于面积函数，转化为函数最值问题． (1)设出直线AB的方程并代入抛物线方程，结合根与系数关系求解题 指导 解AB的斜率； (2)以三角形面积为突破口建立关于面积的函数，通过利用导数求面积最大值，解得直线斜率，从而求出直线方程. [规范解答] (1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意；所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b，

2

22

2

2

1分

代入方程y＝4x得：kx＋(2kb－4)x＋b＝0， 4－2kb2∴x1＋x2＝＝2，得b＝－k， 2

kk2∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋，

k 3分

∵AB中点的横坐标为1，

?2?∴AB中点的坐标为?1，?，

?

k?

∴AB的中垂线方程为

y＝－(x－1)＋＝－x＋，

kkkk分

1213

4

33∵AB的中垂线经过点P(0,2)，故＝2，得k＝，

k231

∴直线AB的方程为y＝x－.

26

5分

13

(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y＝－x＋，

kk 1

∴M点的坐标为(3,0)，

∵直线AB的方程为kx－ky＋2－k＝0，

2

2

6分

|3k＋2－k|2k＋1

∴M到直线AB的距离d＝＝，

|k|k4＋k2??kx－ky＋2－k＝0，

由?2

?y＝4x?

2

2

222

7分

k得y－ky＋2－k＝0，

4

2

k2

22

48－4k∴y1＋y2＝，y1·y2＝2，

k

228分

9

|AB|＝分

41＋kk－1

1＋2|y1－y2|＝， 2

1

kk?1?∴S△MAB＝4?1＋2?

k?

?

设 11－2，

k1

1－2＝t，则0

kS＝4t(2－t2)＝－4t3＋8t， S′＝－12t2＋8，由S′＝0，得t＝

166

即k＝±3时Smax＝，

9

此时直线AB的方程为3x±3y－1＝0.

6， 3

10分

11分 12分

(1)易漏掉AB斜率不存在的情况；

(2)求面积最值时注意换元法的运用，同时注意换元后新元的取值范围．

[技法总结] 最值问题的求解思路

(1)建立目标函数，然后根据目标函数的特征选择相应的方法进行求解．

(2)构建不等式，利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解，且大多会用到基本不等式．

[变式提升]

1?x2y2?1．(2018·天水二模)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)经过点P?－3，?，椭圆E的2?ab?一个焦点为(3，0)．

(1)求椭圆E的方程；

2

(2)若直线l过点M(0，2)且与椭圆E交于A，B两点．求|AB|的最大值． 解 (1)依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)． 则|PF1|＋|PF2|＝4＝2a， ∴a＝2，c＝3，∴b＝1， ∴椭圆E的方程为＋y＝1．

4(2)当直线l的斜率存在时，

设l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

2

x2

2

??y＝kx＋2，由?x2

2

＋y＝1??4

2

得(1＋4k)x＋82kx＋4＝0．

22

由Δ＞0得4k＞1．

82k4由x1＋x2＝－2，x1x2＝2得

1＋4k1＋4k|AB|＝1＋k＝2 设t＝

2x1＋x2

2－4x1x2

?12?2＋1＋1． －6??

?1＋4k?1＋4k2

112，则0＜t＜． 1＋4k2

2∴|AB|＝2－6t＋t＋1 ＝2 1?22556?－6?t－?＋≤．

?12?246

56

当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2＜，

656

∴|AB|的最大值．

6

2．(2018·攀枝花三模)已知椭圆＋y＝1的右焦点为F，坐标原点为O.椭圆C的动弦

5

x2

2

AB过右焦点F且不垂直于坐标轴，AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M．

(1)求点M的横坐标；

(2)当∠OMF最大时，求△MAB的面积．

解 (1)易知F(2,0)，设AB所在直线为y＝k(x－2)(k≠0), A(x1，y1)，B(x2，y2)，

3

?2

?x＋y2联立方程组?5

＝1，

??y＝kx－

化简得(5k2

＋1)x2

－20k2

x＋(20k2

－5)＝0， 2

2

由韦达定理得x＋x20k20k－5

12＝5k2＋1，x1x2＝5k2＋1，

2

则N??10k2k?5k2＋1

，－5k2＋1???，

从而ON所在直线方程为y＝－1

5kx，

又FM所在直线方程为y＝－1k(x－2)，联立两直线方程解得x5

M＝2．

(2)方法一 由(1)得M??5

1?2，－2k???，则

→

MF＝??1151

?－2，2k??→?，MO＝???－2，2k???

，

→→

5则cos ∠OMF＝MF·MO4＋14k2410k2

＋1

|→MF|·|→＝MO|

k2＋1

25k2＋1

＝25k＋25k4＋26k2＋1

4k2·4k2＝

16k21－25k4＋26k2

＋1

＝1－

16≥525k2

＋3 ???当且仅当k2＝15时取等号??26＋

1

?

，k2

当cos ∠OMF取得最小值时，∠OMF最大， 此时x＋x1

12＝2，x1x2＝－2，

|AB|＝1＋k2

|x1－x2|＝1＋122

－4×??1?－2??655

× ?＝5

， |FM|＝??5?－2?22??＋???－12k??2?

＝62， 从而S1330

△MAB＝2|AB|·|FM|＝10

．

方法二 由(1)得M??5

1?2

，－2k???，设直线x＝52与x轴的交点为点G，

4