∵BE綊DG，
∴四边形BGDE为平行四边形． ∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD. ∴点O为正方形的中心． ∴直线EG必过正方形的中心． 专训3 1．A
2．B 点拨：连接EF，由题易知，AE＝EG＝ED，∠A＝∠EGB＝∠EGF＝∠D＝90°，又EF＝EF，所以Rt△EGF≌Rt△EDF，所以FG＝DF.设DF＝x，则BF＝6＋x，CF＝6－x，在Rt△BCF中，(46)2＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得x＝4，所以FD＝4.
3．C
4．B 点拨：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t cm，所以DF＝2t cm.又因为AE＝2t cm，所以AE＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD为平行四边形．令AE＝AD，则60－4t＝2t.解得t＝10.所以当t＝10时，四边形AEFD为菱形．
5．C 点拨：连接BD交AC于点O，由图可知，DQ＋PQ的最小值即为DO的长，由正方形的边长为4可知，DO的长为22，所以DQ＋PQ的最小值为22.
6．A
(第7题)
7．93 cm2 点拨：连接AC，BD，设AC，BD相交于点O，如图， 易知，四边形EFGH是矩形． 由四边形ABCD是菱形， ∠ABC＝60°， 可得∠ABO＝30°， 又∵∠AOB＝90°，
17
1
∴AO＝2AB＝3 cm. ∴AC＝6 cm.
在Rt△AOB中，OB＝AB2－OA2＝33(cm)， ∴BD＝63 cm.
11
∵EH＝2BD，EF＝2AC， ∴EH＝33 cm，EF＝3 cm.
∴矩形EFGH的面积＝EF·EH＝3×33＝93(cm2)． 8．C
9．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAG＋∠EAD＝90°. ∵DE⊥AG，
∴∠AED＝∠DEG＝90°. ∴∠EAD＋∠ADE＝90°. ∴∠ADE＝∠BAF. 又∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEG＝90°. 在△AED和△BFA中，
?∠AED＝∠AFB，∵?∠ADE＝∠BAF， ?AD＝AB，
∴△AED≌△BFA(AAS)． ∴BF＝AE. ∵AF－AE＝EF， ∴AF－BF＝EF.
(第9题)
(2)解：如图，由题意知将△ABF绕A点旋转得到△ADF′，B与D重合，连接F′E，由(1)易得DE＝AF.
根据题意知：∠FAF′＝90°，DE＝AF＝AF′， ∴∠F′AE＝∠AED＝90°.
18
即∠F′AE＋∠AED＝180°. ∴AF′∥ED.
∴四边形AEDF′为平行四边形． 又∠AED＝90°， ∴四边形AEDF′是矩形． ∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.
10．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝AD. ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA(SAS)．
(2)解：四边形AECF是矩形，理由： 11
∵AE＝2AB，CF＝2CD，AB＝CD， ∴AE＝CF. ∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形． 当CA＝CB时，CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
11．(1)证明：如图，由折叠的性质可知：DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2， ∵FG∥CD， ∴∠3＝∠1. ∴∠2＝∠3. ∴FG＝FE.
∴DG＝GF＝EF＝DE. ∴四边形DEFG为菱形．
(2)解：设DE＝x，则EF＝DE＝x，EC＝8－x， 在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2， 即42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5.∴CE＝8－x＝3. CE3∴DE＝5. 19
(第11题)
12．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠BAE＝90°， ∴∠DAF＋∠BAF＝90°. ∵AF⊥BE，
∴∠ABE＋∠BAF＝90°. ∴∠DAF＝∠ABE. ∴△DAF≌△ABE(ASA)． ∴AF＝BE.
(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.
专训四
1．证明：(1)∵点D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE∥AC.同理可得EF∥AB. ∴四边形ADEF是平行四边形． (2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DAF＝∠DEF.
在Rt△AHB中，∵D是AB的中点， 1
∴DH＝AB＝AD，
2∴∠DAH＝∠DHA. 1
同理可得HF＝2AC＝AF， ∴∠FAH＝∠FHA.
∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA. ∴∠DAF＝∠DHF. ∴∠DHF＝∠DEF.
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