简单逻辑用语复习学案
一、知识梳理
1、命题： 叫命题，如“5>6”是命题，“萝卜好大”不是命题。（1）命题的一般书写形式是 . （2）不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做 命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做 。复合命题的构成形式有 、 和 三种形式。 （3）“p或q”复合命题只有 时为假，否则为真命题；
“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为 ，否则为假命题； p与“非p”的真假 。 （4）全称命题与存在性命题：
全称命题： ，符号表示： . 存在性命题： ，符号表示： . 全称命题的否定形式为： ，存在性命题的否定形式为： . 2、命题的四种形式及其关系：
（1）原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；则逆命题： ； 否命题： ；逆否命题： . （2）原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 （3）四种命题及其关系如下图所示 ： 互逆原命题逆命题若p则q若q则p 互否为 逆互互 否否逆为 否互逆否命题 否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆
3、充分条件与必要条件：
（1）如果命题“若p则q”为真，则记为p?q ，否则记作 . （2）在命题“若p则q”中，
如果p ?q,则称p是q的 条件，同时也称q是p的 条件； 如果p?q但q ? p，则称p是q的 条件；
如果p ?q但q ? p ，则称p是q的 条件； 如果p?q且q ? p ，则称p是q的 条件。 （3）p是q的充分条件的四种说法：
文字语言：命题“若p则q”为真命题； 符号语言：p ?q ；
qP集合语言： 即集合p?q； 逻辑语言： q是p的必要条件 （4）用集合的观点，看充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：
(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A≠B，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B≠A，则p是q的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B,B?A,则p是q的既不充分也不必要条件． 4、命题的否定形式与否命题 已知命题：“若p则q”，则该命题的否定形式为：“若p则非q” ；（只否定结论）
则该 命题的否命题为：“若非p则非q”。（条件和结论都否定）
5、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理?)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 二、典型例题
题型一 是否构成命题
例1、下列语句是命题的有（ C ）
①3?3;②10是2或5的倍数；③2是4和6的约数；④相似三角形的对应边不一定相等；⑤这道题好难啊！；
A.2 B.3 C.4 D.5 题型二 命题真假的判断 例2、判断下列命题的真假：
①若x2?0,则x?0; （ 真 ）
②若?A是B的充分不必要条件，则A是?B的必要不充分条件；（ 真 ） ③ x?2且x?3?x?y?5 ；（ 假 ）
④ 已知命题P：?x?[1,2],x2?a?0，命题q： ?x?R,x2?2ax?2?a?0，若p?q是真命题，则实数a的取值范围是a??2或a?1；（ 真 ）
⑤ 已知实数a?1，命题p：函数y?log0.5(x2?2x?a)的定义域为R，命题q：|x|?1是x?a的充分不必要条件，则（A） Ａ．p?q为真命题 Ｃ．?p?q为真命题
Ｂ．p?q为假命题 Ｄ．?p??q为真命题
题型三 命题的否定与否命题
例3、写出下列命题的否定形式与否命题，并判断真假：
（1）若x2?y2?0，则x=0，y=0； （2）若xy=0，则x，y中至少有一个为0； （3）若x + y =0，则x，y中至多有一个大于0.
解：（1）否定：若x2?y2?0，则x?0或y?0；（假）否命题：若x2?y2?0，则x?0或y?0（真） （2）否定：若xy=0，则x，y都不为0；（假）否命题：若xy?0，则x，y都不为0；（真） （3）否定：若x + y =0，则x，y都大于0.（假）否命题：若x?y?0，则x，y都大于0（假） 题型四 充分必要条件 例4、（1）如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的（ B ）
Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
（2）已知A是B的充分条件，B是C的充要条件，?A是E的充分条件，D是C是必要条件，则D是?E的____ 必要不充分条件 _____条件． （3）关于x的方程：ax?2x?1?0(a?0)有一正根和一负根的充分不必要条件是（ C ） Ａ．a?0
Ｂ．a?0 Ｃ．a??1
Ｄ． a?1
2（4）已知P：x?2，x?3，q：x?y?5，则p是q的 既不充分也不必要条件 . 例5、（1）设?,?是方程x?ax?b?0的两个实根，试分析a?2且b?1是?,?均大于1的什么条件？ （2）已知关于x的方程：x?(2k?1)x?k?0，求使该方程有两个大于1的根的充要条件. 解：（1）必要不充分条件； （2）k??2
题型五 综合应用
222?x－4x＋3<0?
例6、已知p：2x－9x＋a<0，q：?2
2
2
，且是的必要条件，求实数a的取值范围．
??x－6x＋8<0
??x2
解：由?－4x＋3<0
?，得?
1 ? x2 －6x＋8<0 ???2 ? <4 ，即2 设A＝{x|2x2 －9x＋a<0}，B＝{x|2 ? ，∴q?p，∴B?A. 即2 －9x＋a<0. 设f(x)＝2x2 －9x＋a， 要使2 －9x＋a<0， 需? ?? f?2?≤0，即?? ? 8－18＋a≤0??f?3?≤0 ??18－27＋a≤0 . ∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}． 三、练习 1．“x?2”是“x2?2x?8?0”成立的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“?x?R,sinx?1”的否定是（ ） A．?x?R,sinx?1 B．?x?R,sinx?1 C．?x?R,sinx?1 D．?x?R,sinx?1 3．“a和b都不是偶数”的否定形式是 ( ) A．a和b至多有一个是偶数 B．a和b至少有一个是偶数 C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数 4．已知命题 p：“存在 x0??1,????logx0，使得 23??1”，则下列说法正确的是（ ） A．p是假命题； ?p?x：“任意x??1,??，都有?log23??1” p?xxB．是真命题；p：“不存在0??1,???，使得?log23?0?1” C． p是真命题；?p：“任意 x??1,????logx，都有 23??1” xD．p是假命题； ?p：“任意x????,1?，都有?log23??1” 5．已知命题p:?x0?R,sinx20?2；命题q:?x?R,x?x?1?0，则下列结论正确的是（A．命题p?q是假命题 B．命题p?q是真命题 C．命题 ??p????q?是真命题 D．命题??p????q?是真命题 ）6．若命题“?x?R,ax?ax?2?0”是真命题，则实数的取值范围是________． 7.下列命题中，所有真命题的序号是__________. 2f?x??ax?1?3a?0a?1P?1,3?（1）函数(且)的图象一定过定点； （2）函数 f?x?1?的定义域是 ?1,3?，则函数f?x?的定义域为?2,4?； 在 （3）已知函数 f?x??x2?x?a?0,1?上有零点，则实数的取值范围是??2,0?． f?x??x2?mx?1f?x??0p:8．设命题“已知函数对一切x?R，恒成立”，命题q:“不等式 x2?9?m2有实数解”，若?p且为真命题，则实数m的取值范围为 9. 若a?b?c，求证：a,b,c不可能都是奇数. 222 10．已知命题 p:x2?8x?20?0,q:x2?2x?1?m2?0?m?0?，若p是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 22 11、已知p:方程x＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围 2p:?x??1,2?,x2?a?0q:?x?R,x?2ax?2?a?0． a?R12．已知，命题，命题 （1）若命题p为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题 p?q为假命题，求实数的取值范围．
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