平行四边形的性质及判定 - 典型例题 2

四边形)

∴EG

HF．(平行四边形的对边平行相等)

说明： 由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明

例7 如图，

ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、

H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．

分析： 连结EH，HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边形．

证法一：

连结EH，HF、FG、GE

∵AE⊥BD，G是AD中点．

∠GED=∠GDE 同理可得

∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD

BC，∠GDE=∠HBF

∴GE=HF，∠GED=∠HFB ∴GE∥HF

∴四边形GEHF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

∴EF和GH互相平分．(平行四边形对角线互相平分) 证法二：

容易证明△ABE≌△CDF ∴BE=DF

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD

BC

∵G、H分别为AD、BC的中点 ∴DG

BH

∴四边形BHDG为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

∴BD和GH互相平分(平行四边形对角线互相平分) ∴OG=OH，OB=OD 又BE=DF ∴OE=OF

∴EF和GH互相平分．

例8 如图，已知线段a、b与∠α，求作：∠α，AB=a，BC=b，

ABCD，使∠ABC=

分析：已知两边与夹角，可先确定△ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出．

作法：

(1)作∠EBF=∠α，

(2)在BE、BF上分别截取BA=a，BC=b，

(3)分别为A、C为圆心，b，a为半径作弧，两弧交于点D， ∴四边形ABCD为所求． *证明：

由作法可知AB=CD＝a BC=AD=b