2.2 函数的单调性-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§2.2 函数的单调性

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间． 2．函数的最值

前提

设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M； (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M； 条件 (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M 结论

概念方法微思考

1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？

f ?x1?－f ?x2?

提示 对?x1，x2∈D，x1≠x2，>0?f (x)在D上是增函数；对?x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)

x1－x2－f (x2)]>0?f (x)在D上是增函数．减函数类似． a

2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间．

x提示 (－∞，－a]和[a，＋∞)．

M为最大值 (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M M为最小值

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R上的函数f (x)，有f (－1)

(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )

x(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．( × )

题组二 教材改编

2.如图是函数y＝f (x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是( )

A．f (x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数 B．f (x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f (x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3 D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时－1

2

3．函数y＝在[2,3]上的最大值是______．

x－1答案 2

4．若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________． 答案 (－∞，2]

解析 由题意知，[2，＋∞)?[m，＋∞)，∴m≤2.

题组三 易错自纠

5．函数f (x)＝log1(－2x2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________．

211?答案 ??4，2? [3，＋∞)

6．函数y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a＋1)