酷酷酷啦啦啦专题突破练21 直线与圆及圆锥曲线
1.(节选)已知圆M:x+y=r(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)略.
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2.(2018河北唐山一模,文20)已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长
轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0)(m<0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合. (1)求椭圆Γ的方程;
(2)若C为椭圆Γ上一点,满足AC∥BM,∠AMC=60°,求m的值.
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酷酷酷啦啦啦 3.
已知圆O:x+y=4,点A((1)求曲线Γ的方程;
(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.
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,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.
4.已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=x-被圆M所截的弦长为,且圆心M在
直线l的下方. (1)求圆M的方程;
(2)设A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆M是△ABC的内切圆,求△ABC的面积S的最大值和最小值.
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酷酷酷啦啦啦5.(2018山西吕梁一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)过E1,,且离心率为e=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,D点坐标为(4,3),求直线DA,DB的斜率之和.
6.(2018河南六市联考一,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,上顶点
为M,若直线MF1的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为N,△F2MN的周长为4. (1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l(直线l的斜率不为1)与椭圆交于P,Q两点,点P在点Q的上方,若
,求直线l的斜率.
参考答案
专题突破练21 直线与圆及圆锥曲线
1.解 (1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).
设圆M的方程为M:x+y=r,由题意得r=所以圆M的方程为M:x+y=4. 由题意,
2
2
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=2,
=2,
所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即
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酷酷酷啦啦啦将A(x,2y)代入圆M:x2+y2
=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.
(2)略.
2.解 (1)依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),
由AF⊥BF得kAF·kBF==-1, 又b2
+c2
=6,解得c=2,b=.
所以,椭圆Γ的方程为=1.
(2)由(1)得A(0,
),
所以=-,
又AM⊥BM,AC∥BM,所以AC⊥BM,△AMC为直角三角形,
所以kBM=kAC=-kAM=,
所以直线AC的方程为y=x+,
y=x+=1联立得(2+3m2)x2+12mx=0,
所以xC=,|AM|=,|AC|=(m<0),
在Rt△AMC中,由∠AMC=60°得|AC|=|AM|,整理得(m+)2
=0,
解得m=-.
3.解
(1)
设
AB的中点为M,切点为N,连接 ,MN,则
4
OM酷酷酷啦啦啦|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,
即|AB|+2|OM|=4.
取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|, 故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.
所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.
其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.
.
(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.
又=1,
解得x0=,y0=± .
则kOB=±即
,kAB=?,则直线AB的方程为y=±(x-),
x-y-=0或x+y-=0.
4.解 (1)设圆心M(a,0),由已知得圆心M到直线l:8x-6y-3=0的距离为,
,
又∵圆心M在直线l的下方, ∴8a-3>0,∴8a-3=5,a=1.
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故圆M的方程为(x-1)+y=1.
(2)由题意设AC的斜率为k1,BC的斜率为k2,则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t+6.
∴由方程组得C点的横坐标为x0=.
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