①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t． ∵BQ=AP， ∴2﹣t=（2+t）， ∴t=． ②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t． ∵BQ=AP， ∴t﹣2=（2+t）， ∴t=6． 综上所述，t=或6时，BQ=AP． （3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3﹣3）． 分析如下： ∵AQ⊥BP， ∴∠QAO+∠BPO=90°， ∵∠QAO+∠AQO=90°， ∴∠AQO=∠BPO． 在△AOQ和△BOP中， 时，抛物线上存在点M（﹣3，
， ∴△AOQ≌△BOP， ∴OP=OQ， ∴△OPQ为等腰直角三角形， ∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上， ∵直线y=x垂直平分PQ， ∴M在y=x上，设M（x，y）， ∴， 解得 或 ， ∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）． ①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D， 则有PD=|1﹣t|，MP=1+|1﹣t|=t﹣2t+2，PQ=2t， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， 2∴t+2t﹣2=0， ∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）． ②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E， 22222
则有PE=3+t，ME=3， 222222∴MP=3+（3+t）=t+6t+18，PQ=2t， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， ∴t﹣6t﹣18=0， ∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）． 综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形． 点评： 本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析．总体来说本题难度较高，其中技巧需要好好把握．
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