§2.4 幂函数与二次函数
最新考纲
1.通过实例，了解幂函数的概念.2.结合
1
函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝，y＝x2的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次
2
3
1x函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1
1．幂函数 (1)幂函数的定义
一般地，形如y＝x的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 αy＝x y＝x2 y＝x3 y＝x 12y＝x－1 图象 性定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 2
质 值域 奇偶性 R 奇函数 {y|y≥0} 偶函数 在(－∞，0]R 奇函数 {y|y≥0} 非奇非偶函数 {y|y≠0} 奇函数 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 单调性 在R上单调递增 上单调递减；在R上单调递在(0，＋∞)上单调递增 增 在[0，＋∞)上单调递增 公共点 2.二次函数的图象和性质
解析式 (1,1) f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 R R ?4ac－b，＋∞? ?4a???在x∈?－∞，－?上单调递减； 2a??2?－∞，4ac－b? ?4a???在x∈?－∞，－?上单调递增； 2a??在x∈?－，＋∞?上单调递减 ?2a?2?b??b?单调性 ??在x∈?－，＋∞?上单调递增 ?2a?对称性
b?b?函数的图象关于直线x＝－b对称 2a 3
概念方
1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．已知f(x)＝ax2
＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件． 提示 a>0且Δ≤0.
法微思考
4
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4ac－b(1)二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.( × )
4a2
2
(2)在y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )
(3)函数y＝2x是幂函数．( × )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (5)当n<0时，幂函数y＝x是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编
2??1α2．已知幂函数f(x)＝k·x的图象过点?，?，则k＋α等于( )
?22?13
A.B．1C.D．2 22答案 C
n2
12k＝1，??
解析 由幂函数的定义，知?2?1?α.
＝k·?2?????2
13
∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.
22
3．已知函数f(x)＝x＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( ) A．a≥3 C．a<－3 答案 D
5
2
B．a≤3 D．a≤－3
解析 函数f(x)＝x＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧， ∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D. 题组三 易错自纠 4．幂函数f(x)＝x等于( ) A．3B．4C．5D．6 答案 C
解析 因为a－10a＋23＝(a－5)－2，
2
2
2
a2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则af(x)＝x(a－5)－2(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
5．已知函数y＝2x－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______． 答案 －1
322
解析 函数y＝2x－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x－6x＋3在[－1,1]上
2单调递减，
∴ymin＝2－6＋3＝－1.
6．设二次函数f(x)＝x－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案 >
12
解析 f(x)＝x－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，
2∴m∈(0,1)，
∴m－1<0，∴f(m－1)>0.
2
2
2
2
2 6
题型一 幂函数的图象和性质
?1?1．若幂函数的图象经过点?2，?，则它的单调递增区间是( ) ?4?
A．(0，＋∞) C．(－∞，＋∞) 答案 D
1αα－2
解析 设f(x)＝x，则2＝，α＝－2，即f(x)＝x，它是偶函数，单调递增区间是(－
4∞，0)．故选D.
2.若四个幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，
abcdB．[0，＋∞) D．(－∞，0)
d的大小关系是( )
7
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 答案 B
解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.
3．已知幂函数f(x)＝(n＋2n－2)x2
n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是
减函数，则n的值为( ) A．－3B．1C．2D．1或2 答案 B
解析 由于f(x)为幂函数，所以n＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
4．(2018·潍坊模拟)若(a＋1)
－132
<(3－2a)
－13，则实数a的取值范围是____________．
?23?答案 (－∞，－1)∪?，? ?32?
解析 不等式(a＋1)
－13<(3－2a)
－13等价于a＋1>3－2a>0或3－2a 23 2a，解得a<－1或 32 思维升华 (1)幂函数的形式是y＝x(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区 α 8 间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 题型二 求二次函数的解析式 2 例1 (1)已知二次函数f(x)＝x－bx＋c满足f(0)＝3，对?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________． 答案 f(x)＝x－2x＋3 解析 由f(0)＝3，得c＝3， 又f(1＋x)＝f(1－x)， ∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴＝1，∴b＝2， 2∴f(x)＝x－2x＋3. (2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________. 答案 x＋2x 解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 4a×0－4a所以f(x)＝ax＋2ax，由＝－1， 4a2 2 2 2 2 b得a＝1，所以f(x)＝x＋2x. 思维升华 求二次函数解析式的方法 2 9 跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________. 答案 x＋2x＋1 解析 设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)＝ax＋2ax＋a(a≠0)， 又f(x)＝ax＋bx＋1，所以a＝1， 故f(x)＝x＋2x＋1. (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________. 答案 x－4x＋3 解析 因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x－4x＋3. 题型三 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的图象 例2 (2018·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 10 答案 C 解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在 2a22 by轴的右侧，故应排除B，选C. 命题点2 二次函数的单调性 例3 函数f(x)＝ax＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( ) A．[－3,0) C．[－2,0] 答案 D 解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 3－a当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝， 2aB．(－∞，－3] D．[－3,0] 2 a<0，?? 由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知?3－a≤－1，??2a解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]． 引申探究 若函数f(x)＝ax＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________. 答案 －3 解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0， 2 11 3－a又＝－1，∴a＝－3. 2a命题点3 二次函数的最值 例4已知函数f(x)＝ax＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值． 解 f(x)＝a(x＋1)＋1－a. (1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； 3 (2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝； 8(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3. 3 综上可知，a的值为或－3. 8引申探究 将本例改为：求函数f(x)＝x＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f(x)＝(x＋a)＋1－a， ∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a. 11 (1)当－a<即a>－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5， 2211 (2)当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a， 22 2 2 2 2 2 综上，f(x)max ??＝?1 2－2a，a≤－.??2 14a＋5，a>－，2 命题点4 二次函数中的恒成立问题 例5(1)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________． 答案 (－∞，－1) 解析 设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x－x＋1.f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成 2 2 ?3?2522 立，即x－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x－3x＋1－m＝?x－?－－m，x∈[－ ?2?4 1,1]，g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，所以m<－1. (2)函数f(x)＝a＋3a－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________． 答案 2 12 2xx1x2 解析 令a＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t＋3t－2， a????t∈?，a?，显然g(t)在?，a?上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒?a??a? 成立，所以有a＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)． (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练2 (1)函数y＝x＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A．b≥0 C．b>0 答案 A 解析 ∵函数y＝x＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x＝－在区间[0， 2＋∞)的左边或－＝0，即－≤0，得b≥0. 22 (2)已知函数f(x)＝x－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________． 答案 －1或3 解析 由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)， 所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)－a＋2a＋4， 当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a＋2a＋4＝1， 即a－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1. (3)设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1 2 2 22 2 22 2 2 11 B．b≤0 D．b<0 bbb?1?答案 ?，＋∞? ?2? 22 解析 由题意得a>－2对1 xx22?11?2111 又－2＝－2?－?＋，<<1， xx?x2?24x11?22?∴?－2?max＝，∴a>. 22?xx? 13 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论． 例设函数f(x)＝x－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 解 f(x)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为f(t＋1)＝t＋1； 当t<1 2 2 2 2 当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为 f(t)＝t2－2t＋2. 14 t＋1，t≤0，?? 综上可知，f(x)min＝?1，0 ??t2－2t＋2，t≥1. 2 1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是( ) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 答案 D 1 解析 设幂函数的解析式为y＝x，将(3，3)代入解析式得3＝3，解得α＝，∴y＝x2， 2 αα1故选D. 15 2.幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析 ∵y＝xm2－4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点， ∴m2 －4m<0，即0 又∵函数的图象关于y轴对称且m∈Z， ∴m2 －4m为偶数，∴m＝2. 3．若幂函数f(x)＝(m2 －4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( A．1或3B．1 C．3D．2 答案 B 解析 由题意得m2 －4m＋4＝1，m2 －6m＋8>0， 解得m＝1. 4．已知函数f(x)＝ax2 ＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( ) A.??1?0，20??? B.???－∞，－120??? C.? ?1D.?－ 1?20，＋∞?? ? ??20，0?? ? 答案 C 解析 由题意知? ?? a>0，?? ?? a>0，>?Δ<0， 即??1－20a<0， 得a1 20 . 5．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2 ＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) ) 16 A．a>0,4a＋b＝0 C．a>0,2a＋b＝0 答案 A B．a<0,4a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0 解析 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又 2a2 bf(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A. 6．已知函数f(x)＝－x＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，则a等于( ) A．2 C．0或－1 答案 D 解析 函数f(x)＝－x＋2ax＋1－a＝－(x－a)＋a－a＋1，其图象的对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)1±5222＝a－a＋1，所以a－a＋1＝2，所以a－a－1＝0，所以a＝(舍去)；当a>1时，f(x)max 2＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2. 7．已知f(x)＝x，g(x)＝x，h(x)＝x，当0 2 －2 2 2 2 2 B．0 D．2或－1 12________________． 答案 h(x)>g(x)>f(x) 解析 分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示， 可知h(x)>g(x)>f(x)． ?3?8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为?－，49?，且方程f(x)＝0的两个实根之差的绝对?2? 值等于7，则此二次函数的解析式是________________． 17 答案 f(x)＝－4x－12x＋40 2 ?3?2 解析 设f(x)＝a?x＋?＋49(a≠0)， ?2??3?2 方程a?x＋?＋49＝0的两个实根分别为x1，x2， ?2? 则|x1－x2|＝249 －＝7， a所以a＝－4，所以f(x)＝－4x－12x＋40. 2 ?1?2 9．已知函数f(x)＝x－(a－1)x＋5在区间?，1?上为增函数，那么f(2)的取值范围是 ?2? ______________． 答案 [7，＋∞) ?1?2 解析 函数f(x)＝x－(a－1)x＋5在区间?，1?上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向 ?2? 上，所以其对称轴x＝ a－1 11a－11 或与直线x＝重合或位于直线x＝的左侧，即应有≤，解22222 得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7. 10．设函数f(x)＝－2x＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是______________． 答案 [0,4] 解析 令f(x)＝－6，得x＝－1或x＝3；令f(x)＝2，得x＝1.又f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m＝－1，n＝1时，m＋n取得最小值0； 当m＝1，n＝3时，m＋n取得最大值4. 11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f(x)＝x＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________． 答案 ?－2 2 ? ?2?，0? 2? 解析 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足 ??f?m?＝m＋m－1<0， ?2??f?m＋1?＝?m＋1?＋m?m＋1?－1<0， 2 2 解得－ 2 2 12．已知函数f(x)＝x＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值． 解 (1)当a＝2时，f(x)＝x＋3x－3，x∈[－2,3]， 18 2 3 函数图象的对称轴为x＝－∈[－2,3]， 221?3?99 ∴f(x)min＝f?－?＝－－3＝－， 4?2?42 f(x)max＝f(3)＝15， ?21?∴f(x)的值域为?－，15?. ?4? 2a－1 (2)函数图象的对称轴为直线x＝－. 2 2a－11①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 221 ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； 32a－11②当－>1，即a<－时， 22 f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 1 综上可知，a＝－或－1. 3 13.如图是二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论： 2 19 ①b>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a 解析 因为图象与x轴交于两点，所以b－4ac>0，即b>4ac，①正确； 对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误； 2a结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误； 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a 14．当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________． 答案 (－∞，－5] 解析 方法一 ∵不等式x＋mx＋4<0对x∈(1,2)恒成立， ∴mx<－x－4对x∈(1,2)恒成立， 2 2 2 2 2 2 B．①④ D．①③ b?4?即m<－?x＋?对x∈(1,2)恒成立， ? x? 44?4?令y＝x＋，x∈(1,2)，则函数y＝x＋在x∈(1,2)上是减函数．∴4 xx?x? <－4， ∴m≤－5. 方法二 设f(x)＝x＋mx＋4，当x∈(1,2)时， ??f?1?≤0， 由f(x)<0恒成立，得? ?f?2?≤0，? 2 20 ??m≤－5，解得? ?m≤－4，? 即m≤－5. 15．若函数φ(x)＝x＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围． 解 当0≤x<1时，φ(x)＝x－mx＋m，此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0； 2当x≥1时，φ(x)＝x＋mx－m，此时φ(x)单调递增，则－≤1，即m≥－2. 2综上，实数m的取值范围是[－2,0]． 16．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x)＝x－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由． 解 f(x)＝(x－a)＋a－a， 当－2≤a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数， ??f?－1?＝－2，∴由? ?f?1?＝2，? 2 2 2 2 2 2 mm 得a＝－1(舍去)； ??f?a?＝－2，当－1≤a≤0时，由? ??f?1?＝2， 当0 ?f?a?＝－2，? ??f?－1?＝2， 得a＝－1； 得a不存在； 综上可得，存在实数a满足题目条件，a＝－1. 21
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