高中数学必修二立体几何常考证明题汇总

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新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形 ABCD 是空间四边形， E, F, G, H 分别是边 AB,BC,CD , DA 的中点 （1） 求证： EFGH是平行四边形 （2） 若 BD=2

A

3 ，AC=2，EG=2。求异面直线 AC、BD所成的角和 EG、BD所成的角。

E

B

F

C

证明：在

H

D G

ABD 中，∵ E, H 分别是 AB, AD 的中点∴

1 BD 2

EH // BD ,EH

同理，

FG // BD, FG

°

1

BD ∴ EH // FG ,EH 2

FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。

(2) 90 ° 30

考点：证平行（利用三角形中位线） 2、如图，已知空间四边形 求证：（1） AB

，异面直线所成的角

ABCD 中， BC AC, AD BD ， E 是 AB 的中点。

平面 CDE;

平面 ABC 。

A

（2）平面 CDE

BC 证明：（1）

AC

AE BE

CE

AB

E

AD 同理，

BD

AE BE

DE

E

DE

AB

B C

又∵ CE ∴ AB 平面 CDE

平面 CDE

D

（2）由（ 1）有 AB 又∵ AB

平面 ABC ， ∴平面 CDE 平面 ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

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***

3、如图，在正方体 ABCD A1B1

C1D1 中， E 是 AA1 的中点， 求证：

A1C // 平面 BDE 。

证明：连接 AC 交 BD 于O ，连接 EO ，

∵ E 为

AA 的中点， O为 AC 的中点

1

∴ EO 为三角形 A AC 的中位线 ∴ EO // A1C

1

又 EO 在平面 BDE 内， AC 在平面 BDE 外

1

∴ A1C // 平面 BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知 ABC 中 ACB 90 , SA 面 ABC , AD SC ,求证：证明： ∵ ACB

90 °

BC

AC

又 SA 面 ABC SA

B C

BC 面 SAC BC

AD

又 SC

AD, SC BC C AD 面SBC

考点：线面垂直的判定 5、已知正方体

ABCD A1B1C1D1， O是底 ABCD 对角线的交点求证： (１) C1O∥面 AB1D1 ；(2) A1C

面 AB1D1 ． 证明：（1）连结 AC ，设 A1C1 B1D1 O1 ，连结 AO 1 1

1

ABCD A BC D 是正方体

∵

AC

AC ∴

A 1 C 1

∥ AC 且 1 1

又

A ACC 是平行四边形

1 1 1 1

1

1

O1,O分别是 A1C1, AC的中点，∴ O1C1∥AO 且O1C1

AO

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A

D1 B1

C

E

A

D

B

C

AD 面 SBC ．

S D

B

A

C

.

D1 C1

A

B1

1

D

O

A

B

C

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AB D ， AOC O 是平行四边形

1 1

1 1

C O 面 AB1D1 ∴C1O∥面 AB1D1

1

C1O∥AO1, AO1

（2）

面

CC

1

A1B1C1D1 面 C C1 B1 D!

A C

C1 1又∵A

B1D1 ，

B D 面 A C C

B D

1

1

1

1

同理可证 A1C AD1，

又D B AD

D

1 1

1

AC

面 AB1D1

1

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

，线面垂直的判定

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即

1

1

1

1