因数、倍数、质数、合数

因数、倍数、质数、合数

一、因数倍数的特征 1、重点归纳

（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数。 （2）2、3、5、9倍数的特征：

2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8； 5的倍数的特征：个位数字是0或5； 同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；

3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数； 9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。

同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数

（3）质数（素数）、合数

最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。 最小的合数是4，没有最大的合数。 1既不是质数，也不是合数。 （4）分解质因数的方法

用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商写成相乘的形式。 （5）奇数、偶数的运算性质：

奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数 奇数 × 奇数=奇数 奇数 × 偶数=偶数 偶数 × 偶数=偶数 2、典型练习

（1）判断：因为48÷8=6，所以说48是倍数，8是因数。 （ ）

因数和倍数的关系式相互依存的，不能说某一个数是因数或倍数，可以说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。

（2）用a表示一个大于1的自然数，则a2 一定是（ ）。

A、奇数 B、偶数 C、质数 D、合数

二、两数互质的几种特殊情况：

（1）两个不相同的质数一定是互质数。如：7和13、17和19是互质数。 （2）两个连续的自然数一定是互质数。如：4和5、13和14是互质数。 （3）相邻的两个奇数一定是互质数。如：5和7、75和77是互质数。

（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。如：1和4、1和13是互质数。 （5）2和任意一个奇数都是互质数。如2和1、2和9都是互质数。 （6）一个奇数和质因数只有2的偶数都是互质数。如9和4、3和8都是互质数。因数只有2的偶数，指的是如8=2×2×2，16=2×2×2×2；32=2×2×2×2×2 ……

三、最大公因数和最小公倍数 1、重点归纳

（1）在求最小公因数和最大公倍数的时候，我们要区分两者的区别与联系。两者都可以用短除法来求，但是前者是所有的除数相乘，而后者是把除数和商连乘起来而得到。

（2）求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况： ①1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。

②倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5 ③互质的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，（3，7）=1 （3）在解决最大公因数和最小公倍数的实际问题中，一般问题中有“最大”、“最多”是求最大公因数的问题；一般问题中有“最少”、“至少”是求最小公倍数的问题。

（4）两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的一个重要性质是： 最大公因数×最小公倍数=两个数的乘积

（5）求两个数的最小公倍数的方法：这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数。 2 、典型练习

例1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是数（ ）。

例2、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？ 例3、甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，这两个数的最小公倍数是（ ）。 分析：根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，进行解答即可。 解答：因为甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2， 所以这两个数的最小公倍数是2×3×5×2×3=180． 33例4、学校举行春季运动会，六1班人数的 参加田赛，参加径赛，六1班87人数是（ ）人。 33分析：由六1班人数的 参加田赛，参加径赛参加径赛”，求出要求六1

87班人数，也就是求7和8的最小公倍数。 7和8的最小公倍数是7×8=56，

例5、能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（ ）

分析：可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数，也就是它们的最小公倍数为30（2、3、5互质，最小公倍数等于这三个数的乘积），由此解决问题。 解答：能被2、3、5整除的最小的数是30，30+1=31

例6、一筐苹果（在100以内），按每份3个分多1个；每份5个分多3个，每份7个分多2个，这筐苹果原有（ ）个。

分析：按每份3个分多1个；每份5个分多3个，每份7个分多2个，这筐苹果加上2个，就是3个分和5个分没有剩余，7个分剩4个，即是15的公倍数，

求出100以内15的公倍数，然后再满足7个分多4个的数，最后减去2即可。 解：100以内15的公倍数有：30、45、60、75、90，

7个分多4个是：60，所以这筐苹果原有：60-2=58个

例7、从学校到文化中心的这段公路一侧，一共有37盏路灯（两端均安装），原来每两盏灯之间相距50米，选择要改成每两盏之间相距60米，除去两端不移动外，中间有多少盏路灯不需要重新安装？

分析：即求出50和60的最小公倍数，是300，也就是说每300米就有一盏灯不需要重新安装；再求出这段路的总长里有多少个300米即可。6段，共有7个点，除去两头，还有5根不动，可以看图.___.___.___.___.___.___.

解答：[50，60]=300 （37-1）×50=1800（米） 1800÷300=6 6+1-2+5

例8：用96朵红花和72朵黄花做花束,如果每个花束里的红花朵数同样多,每个花束里的黄花也同样多，且两种花都没有剩余。每个花束里最少有多少朵花？ 分析：看到最少，不能错认为是求最小公倍数，花束例的花朵数要最少，说明花束要最多，也就是96和72最大公因数，再把每束花例的红花朵数和黄花朵数加起来即可。

解答：96和72的最大公因数是24，96÷24+72÷24=7(朵)

练习

一、填空题

1、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数各是（ ）和（ ）。

2、一个数与48的最大公约数是12，最小公倍数是144，这个数是（ ）。 3、既有因数3，又是5的倍数的最小三位数是（ ）

【分析】根据3的倍数的特征，各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数．5的倍数特征是：个位上是0或5的数是5的倍数．所以既有因数3又是5的倍数最小三位数是105．

4、甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，当A=（ ）时，甲、乙两数的最小公倍数是630。

解答：因为甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，

所以这两个数的最小公倍数是2×3×5×7×A=630，210×A=630 ， A=3

二、选择题

1、a÷b=9（a、b都是整数），那么a与b的最小公倍数是（ ）

A、a B、b C、ab D、9 注：成倍数关系的两个数，大的数是小的数的最小公倍数。

2、甲数×3=乙数，（甲乙都是非0自然数），则乙数是甲数的（ ）

A、倍数 B、因数 C、自然数 D、质数

3、下面的数，因数个数最少的是（ ）

A、16 B、36 C、40

【考点】找一个数的因数的方法．

【分析】根据找一个数因数的方法分别找出16、36、40的因数，然后数出个数，比较即可．

【解答】解：16的因数有：1、2、4、8、16，共5个； 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个；

40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，共8个； 故选：A．

4、1、3、7都是21的（ ）

A、质因数 B、公因数 C、奇数 D、因数 解：因为1×3×7=21，所以1、3、7是21的因数；

因3、7都是质数，3、7是21的质因数，但1既不是质数，也不是合数，． 故选D．

5、28□同时是2、3的倍数，□中可能是（ ）

A、0或2或4或6或8 B、2或5或8 C、2或8 D、以上说法都不正确 考点：找一个数的倍数的方法；数的整除特征．

分析：根据能被2和3整除的数的特征：个位是偶数，并且该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可．

解答：因为2+8+2=12，2+8+8=18，12和18都能被3整除，所以□中可能是2或8；

三、解决问题

1、已知两数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。 2、小明家房间的地面正好是正方形，要铺地砖，不论选择边长是50厘米的方砖，还是选择边长是60厘米的方砖都正好铺满，小明房间的地面至少是多少平方米？

分析：房间的面积要最小，也就是房间的面积要同时是两种方砖面积的最小整数倍，也就是房间的边长要是两种方砖边张的最小公倍数。

3、一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最少可以分成几个这样的小正方形？

分析：看到最少，不能错认为是求最小公倍数，截的块数要最少，说明每块在正方形截得的面积要最大，也就是边长要最大。即求长、宽的最大公因数，再用长方形纸的面积÷截得的每块小正方形的面积。

4、某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人。这个学校五年级至少有（ ）名学生。

分析：由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数，求至少就是、5、7的最小公倍数加2，据此解答。 解答：3、5、7两两互质，它们最小公倍数等于它们的乘积； 3、5、7的最小公倍数：3×5×7=105； 105+2=107（名）；