2020-2021中考数学 二次函数综合试题含答案解析

2020-2021中考数学 二次函数综合试题含答案解析

一、二次函数

1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】

【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；

（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=

111×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15． 222

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的

求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

2．如图所示，抛物线y?ax2?bx?c的顶点为M??2,?4?，与x轴交于A、B两点，且

A??6,0?，与y轴交于点C．

?1?求抛物线的函数解析式； ?2?求VABC的面积；

?3?能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使VAPC的面积最大？若能，请求出点

P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】?1? y?标是P??3,?【解析】 【分析】

1227x?x?3；?2?12；?3?当x??3时，SVAPC有最大值，点P的坐44??15??． 4?(1)设顶点式并代入已知点A??6,0?即可；

(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；

(3)假设存在这样的点，过点P作PE?x轴于点E，交AC于点F，线段PF的长度即为两函数值之差，将VAPC的面积计算拆分为SVAPF?SVCPF即可. 【详解】

?1?设此函数的解析式为y?a(x?h)2?k，

∵函数图象顶点为M??2,?4?，

∴y?a(x?2)2?4， 又∵函数图象经过点A??6,0?， ∴0?a(?6?2)2?4 解得a?1， 411(x?2)2?4，即y?x2?x?3； 44∴此函数的解析式为y??2?∵点C是函数y?1x2?x?3的图象与y轴的交点，

4∴点C的坐标是?0,?3?， 又当y?0时，有y?12x?x?3?0， 4解得x1??6，x2?2， ∴点B的坐标是?2,0?， 则SVABC?11AB?OC??8?3?12； 22?3?假设存在这样的点，过点P作PE?x轴于点E，交AC于点F．

设E?x,0?，则P?x,??12?x?x?3?， 4?

设直线AC的解析式为y?kx?b， ∵直线AC过点A??6,0?，C?0,?3?， ∴???6k?b?0，

?3?b?1??k??解得?2，

??b??3∴直线AC的解析式为y??∴点F的坐标为F?x,?则PF??1x?3， 2??1?x?3?， 2?113?1?x?3??x2?x?3???x2?x， 242?4?∴SVAPC?SVAPF?SVCPF?11PF?AE?PF?OE 22?11?13?39327PF?OA???x2?x??6??x2?x??(x?3)2?， 22?42?4244∴当x??3时，SVAPC有最大值

27， 4此时点P的坐标是P??3,?【点睛】

??15??． 4?本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF最大进行理解.

3．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m. (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能. 【解析】

试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣到他能将球直接射入球门．

解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴

，

×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得

，求得抛物线的解析式为：y=﹣

t2+5t+，当t=时，y最大

85解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣∴当t=时，y最大=4.5；

t2+5t+，

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣

×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，

∴他能将球直接射入球门． 考点：二次函数的应用．

4．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上． ①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，2）；②P（﹣【解析】

试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为x??1即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；

②S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

2试题解析：（1）∵抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于

315 ，） 42a??1{c?3点C（0，3），其对称轴l为x??1，∴，解得：{b??2，∴二次函数的

bc?3???12a解析式为y??x?2x?3=?(x?1)?4，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

2（2）令y??x?2x?3?0，解得x??3或x?1，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作

22a?b?c?0PD⊥x轴于点D，∵点P在y??x2?2x?3上，∴设点P（x，?x2?2x?3）， ①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即y??x2?2x?3?2，解得x=2?1（舍去）或x=?2?1，∴点P（?2?1，2）；

②设P(x，y)，则y??x2?2x?3，∵S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC

111111OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=?3?1+?(3?x)y?(y?3)(?x)=

222222333?x?y 222333329332752=?x?(?x?2x?3)=?x?x?6=?(x?)?， 22222228337515∴当x=?时，S四边形ABCP最大值=，当x=?时，y??x2?2x?3=，此时P

4822315（?，）．

42=

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

5．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探

究）．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，2

）；（3）E点坐标为（

，

）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣

）时，△CBE的面积最大．

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；

（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C， ∴B（3，0），C（0，3）， 把B、C坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1）， 设M（2，t），且C（0，3）， ∴MC=

∵△CPM为等腰三角形，

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况， ①当MC=MP时，则有②当MC=PC时，则有7）；

③当MP=PC时，则有|t+1|=21+2

）或（2，﹣1﹣2

）；

）或（2，7）或（2，﹣1+2

）或

，解得t=﹣1+2

或t=﹣1﹣2

，此时M（2，﹣

=2

=|t+1|，解得t=

，此时M（2，

）；

，MP=|t+1|，PC=

，

，解得

，

，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，

综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，（2，﹣1﹣2

）；

（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3）， ∵0＜x＜3，

∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=∴当x=

EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3（﹣x2+3x）=﹣，

），

（x﹣）2+，

时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（

，

）时，△CBE的面积最大．

即当E点坐标为（

考点：二次函数综合题．

6．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；

（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

14x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线333． 2

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】

（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=求解即可；

（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点

3列出关于a、c的方程组2F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到

Qx?PxFx?ExQy?PyFy?Ey?，，从而?2222可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可． 【详解】 （1）当y=0时，

143x??0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，332?16a?12?c?0?得??33，

???2a2??a?1解得?，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；

?c??4（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，

1x． 3∵点P是直线1上任意一点，

∴直线m的解析式为y=

∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a． 又∵PE=3PF， ∴

PCPB?． PFPE∴∠FPC=∠EPB． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP⊥PE．

（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a， ∴OF=20﹣3a． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形，

Qx?PxFx?ExQy?PyFy?Ey?，， ?2222∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

∴

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q（﹣2，6）．

如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18， ∴OF=3a﹣20． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形，

Qx?PxFx?ExQy?PyFy?Ey?∴，， ?2222∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q（2，﹣6）．

综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．

7．在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝x2－2x，其顶点为A． (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ①试求抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标；

②平移抛物线y＝x2－2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式.

【答案】(l)抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1. 【解析】 【分析】

（1）Qa?1?0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为?1,?1?；

（2）①设抛物线“不动点”坐标为?t,t?，则t?t2?2t，即可求解；②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B?m,m?，则新抛物线的对称轴为：x?m，与x轴的交点C?m,0?，四边形OABC是梯形，则直线x?m在y轴左侧，而点A?1,?1?，点B?m,m?，则

m??1，即可求解. 【详解】

(l)Qa?1?0，

抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)，

抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的. (2)①设抛物线y＝x2－2x的“不动点”坐标为(t，t). 则t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3.

所以，抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3). ②∵新抛物线的顶点B是其“不动点”，∴设点B的坐标为(m，m) ∴新抛物线的对称轴为直线x＝m，与x轴的交点为C(m，0) ∵四边形OABC是梯形， ∴直线x＝m在y轴左侧. ∵BC与OA不平行 ∴OC∥AB.

又∵点A的坐标为(1，一1)，点B的坐标为(m，m)，

?m＝－1.

∴新抛物线是由抛物线y＝x2－2x向左平移2个单位得到的， ∴新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1. 【点睛】

本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.

8．已知：二次函数y?x2?4x?3a?2(a为常数)． (1)请写出该二次函数图象的三条性质；

(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x?4的部分与一次函数y?2x?1的图象有两个交点，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)【解析】 【分析】

(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；

(2) 先由二次函数的图象与一次函数y?2x?1的图象有两个交点，即关于x的一元二次方程x2?6x?3a?3?0有两个不相等的实数根，由此可得a?2，再根据二次函数的图象在x?4的部分与一次函数y?2x?1的图象有两个交点，也就是说二次函数

5?a?2． 3w?x2?6x?3a?3的图象与x轴x?4的部分有两个交点，画出函数

w?x2?6x?3a?3的图象，结合图象，可知当x?4时，x2?6x?3a?3?0，将x=4

代入求得a的取值范围，由此即可求得答案. 【详解】

(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线x?2；③当x?2时，y随x的增大而增大；④当x?2时，y随x的增大而减小；⑤当x?2时，函数有最小值； (2)∵二次函数的图象与一次函数y?2x?1的图象有两个交点， ∴x2?4x?3a?2?2x?1，即x2?6x?3a?3?0，

??36?4(3a?3)??12a?24?0，解得a?2，

∵二次函数的图象在x?4的部分与一次函数y?2x?1的图象有两个交点， ∴二次函数w?x2?6x?3a?3的图象与x轴x?4的部分有两个交点， 画出二次函数w?x2?6x?3a?3的图象，结合图象， 可知当x?4时，x2?6x?3a?3?0，

5， 3∴当二次函数的图象在x?4的部分与一次函数y?2x?1的图象有两个交点时，

∴当x?4时，x2?6x?3a?3?3a?5?0，得a?a的取值范围为

【点睛】

5?a?2． 3本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.

9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；

（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=是等腰三角形时，m的值为2，﹣2，1，2． 【解析】

27；（3）当△BMN8分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得

?a?b?3＝0， ?9a?3b?3＝0?1?a＝解得?，

b＝?4?这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），

设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得

?3k?b＝0， ?b＝0?解这个方程组，得

?k＝?1 ??b＝3直线BC的解析是为y=-x+3， 过点P作PE∥y轴

，

交直线BC于点E（t，-t+3）， PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t， ∴S△BCP=S△BPE+SCPE=∵-

12733（-t2+3t）×3=-（t-）2+，

22282733. ＜0，∴当t=时，S△BCP最大=

228（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3） MN=m2-3m，BM=2|m-3|，

当MN=BM时，①m2-3m=2（m-3），解得m=2，

②m2-3m=-2（m-3），解得m=-2 当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°， m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍） 当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，

-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍）， 当△BMN是等腰三角形时，m的值为2，-2，1，2．

点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．

10．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？ （3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

【答案】（1）B（10，4），C（0，4），y??【解析】

1251020x?x?4；（2）3；（3）或 . 6333试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；

（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值． 试题解析：

解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4， ∴C（0，4），

∵四边形OABC为矩形，且A（10，0）， ∴B（10，4），

?100a?10b?4?4把B、D坐标代入抛物线解析式可得?，

4a?2b?4?0?1?a????6解得?，

5?b??3?∴抛物线解析式为y＝?125x＋x＋4； 63125t＋t＋4）， 63（2）由题意可设P（t，4），则E（t，?∴PB＝10﹣t，PE＝?12515t＋t＋4﹣4＝?t2＋t， 6363∵∠BPE＝∠COD＝90°， 当∠PBE＝∠OCD时， 则△PBE∽△OCD，

∴

PEPB?，即BP?OD＝CO?PE， ODOC125t＋t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去）， 63∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD； 当∠PBE＝∠CDO时， 则△PBE∽△ODC，

∴2（10﹣t）＝4（?∴

PEPB?，即BP?OC＝DO?PE， OCOD125t＋t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去） 63综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；

∴4（10﹣t）＝2（?（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN， ∴∠CQO＋∠AQB＝90°， ∵∠CQO＋∠OCQ＝90°， ∴∠OCQ＝∠AQB， ∴Rt△COQ∽Rt△QAB， ∴

COOQ?，即OQ?AQ＝CO?AB， AQAB设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，

∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8， ①当m＝2时，CQ＝OC2?OQ2＝25，BQ＝∴sin∠BCQ＝

AQ2?AB2＝45，

BQ25CQ5＝，sin∠CBQ＝＝，

55BCBC∴PM＝PC?sin∠PCQ＝∴

255t，PN＝PB?sin∠CBQ＝（10﹣t）， 5510255t ＝（10﹣t），解得t＝， 55320， 31020或． 33②当m＝8时，同理可求得t＝

∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为

点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在（3）中利用Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

11．已知抛物线y??123x?x的图象如图所示： 22（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 ．

（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y??123?3?0?、x?x?2；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，??，222???311??311??，2??，2?????2?、??2?． 22????【解析】 【分析】

（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；

（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据勾股定理及逆定理，

可得答案；

（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】

（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：y??故答案为y??123x?x+2． 22123x?x+2； 22123x?x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）． 22当x=0时，y=2，即C（0，2）．

（2）当y=0时，?AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）

2

=20．

∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形； （3）y??2

123333x?x+2的对称轴是x??，设P（?，n），AP2=（1?）22222+n2?2529?n，CP2??（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种情况讨论： 44252

?n=5，方程无解； 425293?n??（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（?，0）； 442①当AP=AC时，AP2=AC2，②当AP=CP时，AP2=CP2，③当AC=CP时，AC2=CP2，（?91111?（2﹣n）2=5，解得：n1=2?，n2=2?，P2422331111，2?），P3（?，2?）． 22223331111，0），（?，2?），（?，2?）． 22222综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（?【点睛】

本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．

12．如图，已知抛物线y?ax2?bx(a?0)过点A(3,-3) 和B(33,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得S?AOC?在，请说明理由.

1S?AOQ?若存在，求出点Q的坐标；若不存3

【答案】（1）y?12338342P4 ,6,- ）；（3）Q；（）点坐标为（）或（x?x33322点坐标（33，0）或（-23，15） 【解析】 【分析】

（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；

?1233（2）设P坐标为??x,2x?2?的值，即可确定出P坐标；

?x??，表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例求出x?（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OM⊥OA，截取OM=h,与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可． 【详解】

??3a?3b??3?3)0)（1）把A(3，和点B(33，代入抛物线得：?，

??27a?33b?0解得：a?133，b??， 221233x?x； 22则抛物线解析式为y?（2）当P在直线AD上方时，

?1233设P坐标为??x,2x?2??1233x?，则有，PD?x?x?3， AD?x?3?22?33OCCA??当?OCA∽?ADP时，，即x?31233， ADDPx?x?322整理得：3x2?93x?18?23x?6，即3x2?113x?24?0，

解得：x?此时P(113?5383，即x?或x?3（舍去）， 63483，?)；

3333OCCA??当?OCA∽?PDA时，，即1233x?3， PDADx?x?322整理得：3x2?9x?63?6x?63，即x2?53x?12?0， 解得：x?53?33，即x?43或3（舍去）， 2此时P(43，6)；

当点P?0,0?时，也满足?OCA∽?PDA； 当P在直线AD下方时，同理可得：P的坐标为(综上，P的坐标为(1043，?)，

334108343，?)或(43，6)或(，?)或?0,0?；

33333，

（3）在Rt?AOC中，OC?3，AC?根据勾股定理得：OA?23，

11Q OC·AC?OA·h， 22?h?3， 2133， QS?AOC?S?AOQ?32??AOQ边OA上的高为

9， 29，过M作MN//OA，交y轴于点N，如图所示： 2过O作OM?OA，截取OM?

在Rt?OMN中，ON?2OM?9，即N?0,9?， 过M作MH?x轴，

19939393OM?，OH?，即M(，)， OM?244424设直线MN解析式为y?kx?9，

在Rt?OMH中，MH?把M坐标代入得：

993?k?9，即k??3，即y??3x?9， 44?y??3x?9?联立得：?1233，

x?y?x?22???x?33??x??23解得：?或?，即Q(33，0)或(?23，15)，

???y?0?y?15则抛物线上存在点Q，使得S?AOC?1S?AOQ，此时点Q的坐标为(33，0)或(?23，315)．

【点睛】

二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

13．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=

S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG. 【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；

（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可． 试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得

，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1； （2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3）， 由题意得：AD=1+1=2，OC=3， S△ACE=

S△ACD=

×

ADOC=

×2×3=10，

设直线AE的解析式为：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，解得：

，

∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3）， ∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0， （m+4）（m﹣5）=0， m1=﹣4，m2=5（舍）， ∴E（﹣4，5）；

（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，

∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG， 连接EP，则EP⊥OG，

∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2， ∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=∴

，∴m=﹣4，

，

FC（1﹣m）=10，

∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG； 如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG， 则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，

∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形， ∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，

综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．

考点：二次函数的综合题.

14．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．

（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P

的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析

22x?4x?8 5（3）详见解析 【解析】 【分析】

（2）y?（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定和性质可得点D的坐标．

（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P在CD的上面下方和点P在CD的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标： 设P?x,??22?x?4x?8?, 5?当点P在CD的上面下方，根据菱形的性质，知点P是AD与抛物线y?点，由A,D的坐标可由待定系数法求出AD的函数表达式:y?（

22x?4x?8的交51x?3,二者联立可得P12529,）； 4822x?4x?8的交5当点P在CD的上面上方，易知点P是∠D的外角平分线与抛物线y?点，此时，∠D的外角平分线与直线AD垂直，由相似可知∠D的外角平分线PD的斜率等于－2，可设其为y??2x?m，将D（10，8）代入可得PD的函数表达式:y??2x?28,与抛物线y?【详解】

（1）证明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8）， ∴AB=6+4=10，AC?62?82?10．∴AB=AC．

由翻折可得，AB=BD，AC=CD．∴AB=BD=CD=AC．∴四边形ABCD是菱形． ∴CD∥AB．

∵C（0，8），∴点D的坐标是（10，8）．

22x?4x?8联立可得P2（﹣5，38）． 5?10a?5． 2a设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，

（2）∵y=ax2﹣10ax+c，∴对称轴为直线x??∴??4k?b?0?k??2，解得?．

?b?8?b?8∴直线BC的解析式为y=﹣2x+8．

∵点M在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2． ∴M（5，，－2）.

又∵抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C和M，

2??25a?50a?c??2?a?∴?，解得?5．

c?8???c?8∴抛物线的函数表达式为y?22x?4x?8． 5（3）存在．点P的坐标为P1（

529,），P2（﹣5，38） 48

15．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时②试说明无论k取何值，【答案】解：（1）y=（2）详见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】

（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。

x2﹣1

的值；

的值都等于同一个常数．

（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入②设点A（x1，

x12﹣1），B（x2，

计算即可得解；

，再联立抛物线与

x22﹣1），然后表示出

直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入进行计算即可得解。 【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）， ∴

，解得

。

∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。

m2﹣1）， 。

（2）证明：设点A的坐标为（m，

则

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。 ∴AM=

m2﹣1﹣（﹣2）=

m2+1。

∴AO=AM。

（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴

。

x12﹣1），B（x2，

x22﹣1），

②k取任何值时，设点A（x1，

则。

联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=16k2+8，x12?x22=16。 ∴

∴无论k取何值，

。

的值都等于同一个常数1。