分式的知识点解析与培优
一、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
AB叫做分式。 二、判断分式的依据:
例：下列式子中，155ax?y、8a2b、-9a?b23、2x?y、
3a2?b22
4、2-2a、1m、5xy6 1x、12、x?1、3xy2?、
3x?y、a?1m中分式的个数为（ ）
A、 2 B、 3 C、 4 D、 5
练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .
1）2x?7； ⑵ x?1；⑶?5a2x2（?x?2x?523a；⑷?；
⑸2?b2xy7xy33b；⑹. 2x2?y2（7） 8??（8）y（9）x2?4二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0 即子零母不零】
例2.注意：（x2?1≠0） 例1：当x 时，分式1x?5有意义； 例2：分式
2x?12?x中，当x?____时，分式没有意义 例3：当x 时，分式1x2?1有意义。
例4：当x 时，分式xx2?1有意义
例5：x，y满足关系 时，分式x?yx?y无意义；
例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A．2xx2?1 B.x2x?1 C.3xx3?1 D.x?5x2 例7：使分式xx?2 有意义的x的取值范围为（ ）
1
A．x?2 B．x??2 C．x??2 D．x?2 例8：分式
x?2(x?1)(x?3)无意义，则x的值为（ ）
A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3 三、分式的值为零：
使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0时，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式
1?2aa?1的值为0. 例2：当x 时，分式x2?1
x?1
的值为0.
例3：如果分式
a?2的值为零,则a的值为( )
a?2A. ?2 B.2 C.-2 D..以上全不对
例4：能使分式x2?xx2?1的值为零的所有x的值是 （ ）
A. x=0 B.x-1 C.x=0 或x=1 D.x?0或x??1 例5：要使分式
x2?9的值为0，则x的值为（ ）
x2?5x?6A.3或-3 B.3 C.-3 D 2 例6：若
aa?1?0,则a是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数
例9：当X= 时，分式x2?1x2?x?2的值为零。
例10：已知
15x?3xy?5yx-1y=3，则x?2xy?y= 。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 AAA
B??CB?CB?A?CB?CC?0例1：xya?aby ； 6x(y?z)3(y?z)2?y?z ；
如果5(3a?1)?5成立,则a的取值范围是________；
7(3a?1)7例2：ab21?b?cb?ca3 )a??()例3：如果把分式 b3? ( a ?2b中的a和b都扩大10倍，那么分
a?b式的值（ ）
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变 例4：如果把分式
10xx?y中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的
110 例5：如果把分式xyx?y中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍；C、不变；D缩小2倍 例6：如果把分式x?yx?y中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍；C、不变；D缩小2倍 例7：如果把分式x?yxy中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小12倍 例8：若把分式x?3y2x的x、y同时缩小12倍，则分式的值（
）
A．扩大12倍B．缩小12倍C．不变
D．缩小6倍
例9：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A、3x3x2y B、3x23x32y2 C、2y D、2y2 例10：根据分式的基本性质，分式
?aa?b可变形为（ ） A.a?a?b B.aa?b C.?aaa?b D.?a?b
2
例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，0.2x?0.012?x?0.05? ；
例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， ?1?x= 。 1?x?x2例13.不改变分式
2?3x2?x?5x3?2x?3的值，使分子、分母 最高次项的系数为正数，则是（? ）。
四、分式的约分：关键先是分解因式。
分式的约分及最简分式：
①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分
②分式约分的依据：分式的基本性质． ③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）
约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。
第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。
例1：下列式子（1）x?y1；（2）b?ax2?y2?x?yc?a?a?b；
a?c（3）b?aa?b??1；（4）?x?yx?y?x?y中正确的是（ ）
?x?yA 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个
例2：下列约分正确的是（ ）
A、x6?x3； B、x?y?0；C、x?y2x2x2?xy?1；D、2xyx4x2y?1x?y2例3：下列式子正确的是( )
A
2x?y?0B.
?a?y??1C.
?yzy?z ??1x22x?ya?yxx?xD.c?dc?dc?d?c?a?a?da?0
例4：下列运算正确的是（ ）
A、aa241a?b??a?b B、x?x?2 C、a2a111b2? D、b2m?m?m
例5：化简m2?3m的结果是（ ）
9?m2A.mm?3 B.?mm?3 C.mm?3 D.m3?m 例7：约分：?4x2y6xy? ；3?x= ；
2x2?9??11； 5x?1?3y3x?5y。
3xy2xy0.6x?y???例8：约分：
a2?4＝ ； 4xy a2?4a?4x2y?
16a(a?b) ； x?y b(a?b)?(x?y)2?ax?ayx2?y2? ；
x2?162 x?9x2?8x?16?；2x?6? ?14a2bc3bc?___________5ab21a320a2b? 29?m2x?9m?3?__________x2?6x?9?___________ 例9：分式a?2，
a?b，
4a，1a2?3a2?b212(a?b)x?2中，最简分式
有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例8.分式4y?3x，
x2?1x2?xy?y2a2?2ab4ax4?1，，中是最x?yab?2b2简分式的有（ ）。
例9.约分：（1）x2?6x?9?9； （2）m2?3m?2x2 m2?m例10.通分：（1）x6ab2，y； 9a2bc （2）a?1，6a2?2a?1a2?1
例11.已知x2
+3x+1=0，求x2
+
1x2的值．
3
例12.已知x+x=3，求
x4?x2?1的值． 四、分式的通分及最简公分母：
通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）
分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。
“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。 例如：
2xx?2?x?2最简公分母就是?x?2??x?2?。 “二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。 例如：
2xx?2?x2?4最简公分母就是?x2?4??x?2??x?2??
“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。 例如：
x2?最简公分母是：x?2?x?x?2?2x?x?2? 2?这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。 例1：分式
112m?n,m2?n2,m?n的最简公分母（ ） A．(m?n)(m2?n2) B．(m2?n2)2
C．(m?n)2(m?n) D．m2?n2
例2：对分式
yx2x，13y2，4xy通分时， 最简公分母
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