初中数学竞赛专项训练（10）
（三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖）
一、填空题：
1、G是△ABC的重心，连结AG并延长交边BC于D，若△ABC的面积为6cm2， 则△BGD的面积为
（ ）
E A. 2cm2 B. 3 cm2
A 322
C. 1 cm D. cm
22、如图10-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分线与∠B的外角C B 的平分线交于E点，则∠AEB是（ ） 图10-1 A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°
3、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，如图10-2，将△ABC绕点C按
B 逆时针方向旋转角α到∠A’C’B’的位置，其中A’、B’分别是A、B的对应点，B’ A’ B在A’B’上，CA’交AB于D，则∠BDC的度数为（ ） D A. 40° B. 45° C α A 图10-2 C. 50° D. 60°
4、设G是△ABC的垂心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则三角形的面积为（ ） A. 58 B. 66 C. 72 D. 84
5、如图10-3，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为
AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，△CEF的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D D B B B A A A
F
C D C C E E
图10-3
6、在△ABC中，∠A＝45°，BC＝a，高BE、CF交于点H，则AH＝（ ）
12B. C. a D. 2a a a
227、已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于BC、CA、AB的对称点，若点B在
△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
8、已知AD、BE、CF是锐角△ABC三条高线，垂心为H，则其图中直角三角形的个数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
A 二、填空题
I 1、如图10-4，I是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠CIB＝＿＿
B C D 图10-4
A.
2、在凸四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠ABC＝90°，则∠DAB的度数是＿＿＿＿＿
A B
D C
E D’
图10-5
3、如图10-5，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将矩形ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是＿＿＿＿＿＿＿
4、在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大。 5、已知等腰三角形顶角为36°，则底与腰的比值等于＿＿＿＿＿＿
6、已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则
BECF＝＿＿＿＿＿＿＿＿ ?AEAF三、解答题
1、如图10-6，在正方形ABCD的对角线OB上任取一点E，过D作AE的垂线与OA交于F。求证：OE＝OF
2、在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。 求证：①△DEM≌△DFN C ②∠PAE＝∠PBF D A B E
F
M N
P 图10-7
3、如图10-8，在△ABC中，AB＝AC，底角B的三等分线交高线AD于M、N，边CN并延长交AB于E。 求证：EM∥BN
A M E B N D 图10-8
C
4、如图10-9，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两于C、D两点，连结BC、CD，设P、Q、K分别是BC、BD、CD中点M、N分别是弧BC和弧BD的中点。 求证：①
BPNQ? PMQBC P K A Q D ②△KPM∽△NQK
M B 图10-9
N
参考答案
一、选择题 1、解：S?BGD?111S?ABD??S?ABC?1(cm2)。选C。 3322、解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则∠ABC＝60°，因为EB是∠B的外角的平分线，所
以∠ABE＝60°，因为E是∠C的平分线与∠B的平分线的交点，所以E点到CB的距离等于E到AB的距离，也等于E点到CA的距离，从而AE是∠A的外角的平分线。 所以?BAE?150??75?，∠AEB＝180°－60°－75°＝45°。应选B。 23、解：依题意在等腰三角形B′CB中，有∠B′CB＝α，∠B′＝90°－20°＝70°。
所以α＝180°－2×70°＝40°，即∠DCA＝α＝40°， 从而∠BDC＝∠DCA＋∠A＝40°＋20°
＝60°。应选D。 4、解：设AD为中线，则DG＝ S?GBC?S?CGG??1AG＝3，延长GD到G′，DG＝DG′＝3， 21?8?6?24 S?ABC?3S?GBC?72。应选C。 25、解：由折叠过程知，DE＝AD＝6，∠DAE＝∠CEF＝45°，所以△CEF是等腰直角三角形，且EC＝8
－6＝2，所以S△CEF＝2。故选A。 6、解：取△ABC的外心及BC中点M，连OB、OC、OM，由于∠A＝45°，故∠BOC＝90°，OM＝
1a，2由于AH＝2OM，AH＝a。应选C。
7、解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以I点同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，
设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID，所以∠IBD＝30°。同理，∠IBA＝30°，于是∠ABC＝60°。故选C。
8、图中有6个直角，每一个直角对应两个直角三角形，共有12个直角三角形：△ADB、△ADC、△BEA、
△CFA、△CFB、△HDB、△HDC、△HEC、△HEA、△HFA、 △BEC、△HFB。故选D。
二、填空题
?BIC??BID??DIC?(1、解：
?90??40??110?2ABACA?)?(?)?90??22222
2、解：连AC，即AD＝a，则在等腰Rt△ABC中 AC?AB?BC?8a?(3a)?a?CD?AD
有∠CAD＝90° ∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝90°+45°＝135°。
3、解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S，则：
22222222S?S?ABC?S?AD1C?S?AEC?S矩形ABCD?S?AEC
S?AEC15?AB?EC?EC22
由Rt△ABE≌Rt△CD1E 知EC＝AE
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