沭阳如东中学高一数学期中模拟试题（一）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1、设集合A?{x|log2x?2,x?Z}，则集合A共有 个子集．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分） 已知全集U?R，函数f?x??1?lg?3?x?的定义域为集合A,集合B=?x|?2＜x＜a?. x?2x2?42、函数f(x)?的定义域为 .
log2(x?1)11
（1）求集合CUA； （2）若A?B?B，求a的取值范围． 3、设幂函数y?f(x)的图象经过点(2，8)，则当f(x)＝8时，实数x的值为 ．
4、已知集合A?{x|y?lg(2x?x2)}，B?{y|y?2x,x?0}，则A?B?＝ . 5、不等式lg(x?1)?1的解集为___ ____.
6、已知a?30.2,b?log20.32,c?0.4,则a,b,c的大小关系为 ．(用“＜”连结).
7、设函数f(x)????x,x?0x2,x?0，若f(a)?4，则实数a? .
?8、已知函数f(x)是定义在(??,0)?(0,??)上的偶函数，在(0,??)上单调递减，且f(12)?0，
f(?3)?0，则函数f(x)的零点个数为 个. 9、已知关于x的方程?x2?2x?a?1在x???1?2,2???上恒有实数根，则实数a的取值范围是 ．
10、设函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2x?2x?a,则f(?1)? ．
、已知函数f?x??4?2x111?2x，若存在实数a,b?R,a?f(x)?b,，则b?a的最小值为 ．
12、设实数a?1，若函数f(x)?log211a(x?3ax)在区间[2,4]上是增函数，则a的取值范围
是 ．
13、已知a,b,c?R，2a?3b?6c，
a?bc?(n,n?1),n?Z，则n? . 14、定义：如果函数f(x)为定义域D上的单调函数，且存在区间?a,b??D(其中a?b)，使得在区间?a,b?上，f(x)的取值范围恰为区间?a,b?，那么称函数f(x)是D上的“正函数”．若函数
g(x)?1m?1x(m?0)是(0，＋∞)上的“正函数”，则实数m的取值范围为 ．
1
．（本题满分14分）
（1）(2729)0.5?0.1?2?(21027)?3?3748
（2）log1535?2log12?log5250?log514 16
17．（本题满分14分）
设f(x)?log1?ax2x?1?x为奇函数，a为常数. (1) 求a的值
(2) 判断并证明函数f(x)在x?(1,??)时的单调性；
(3) 若对于区间[2,3]上的每一个x值，不等式f(x)?2x?m恒成立，求实数m的取值范围 18．（本题满分16分）
某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中 投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中
?log2(x?4),0?x?4释放的浓度y（毫克/升）满足y?mf?x?，其中f?x?????6?x?2,x?4，当药剂在
水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化．．．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6 （毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．．．．
. （1）如果投放的药剂质量为m?4，试问自来水达到有效净化．．．．
一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来
水达到最佳净化．．．．，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.
19．（本题满分16分）
已知函数f(x)?(2x?a)2?(2?x?a)2，x?[－1，1]． ⑴当a?1时，求使f（x）=134的x的值； ⑵求f(x)的最小值；
⑶关于x的方程f(x)?2a2有解，求实数a的取值范围． 20．（本题满分16分）
已知函数m(x)?log2(4x?1),n(x)?kx(k?R)．
(1)当x?0时，F(x)?m(x).若F(x)为R上的奇函数，求x?0时F(x)的表达式； (2)若f(x)?m(x)?n(x)是偶函数，求k的值； (3)对(2)中的函数f(x)，设函数g(x)?logx42(a?2?3a)，其中a?0．若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．
2
沭阳如东中学高一数学期中模拟试题（一）参考答案
1. 8；2. (2,??)；3.(1,5]；4.(1,2)；5.(1,11)；6.b?c?a；7.?4或2；8.2；9.0?a?2；
10.?3；11.5；12. (1,31
2)；13.4；14.(0，2).
15、略 16、略
18、解：（1）由题设：投放的药剂质量为m?4，
自来水达到有效．．净化．．?4f(x)?6 ………2分
?f(x)?32 ?0?x??x?4 ??4??3或?3 ………4分 ?logx?4)??62(2??x?2?2 ?0?x?4或4?x?6，即：0?x?6， 亦即：如果投放的药剂质量为m?4，
自来水达到有效．．净．化．一共可持续6天； ………8分 （2）由题设：?x?(0,7],6?mf(x)?18，m?0， ………10分
?log2(x?4),0?x?4 ?f?x?????6，
?x?2,x?4 ??x?(0,4],6?mlog2(x?4)?18，且?x?(4,7],6?6mx?2?18，………12分[来源:Z|xx|k.Com]
???2m?6?6且??5m?6， ………14?3m?18分
??3m?18???3?m?6，?5?m?6， ?5?m?6 亦即：投放的药剂质量m的取值范围为[5,6]. ………16分 19、解：f(x)?22x?2?2x?2a(2x?2?x)?2a2?(2x?2?x)2?2a(2x?2?x)?2a2?2
令t?2x?2?x ????????????????????????2分
⑴当a=1时，由f（x）=
13213134得：t-2t?4?4，解得t1?2，t2?2. 由2x-2-x?132得x=log（1?17）2-2; 由2x-2-x?2得x=1, ?x=1,或log（1?17）2-2. ???????????????????6分
⑵f(x)?t2?2at?2a2?2?(t?a)2?a2?2
t?2x?2?x , 2x?2?x在x?[?1,1]上单调递增,∴t?[?332,2].
???????????????????8分
当a??32时，f(x)3217min?f(?2)?2a?3a?4 当?32?a?32时，f(x)min?a2?2
当a?32时，f(x)3217min?f(2)?2a?3a?4，
??2a2?3a?17,a??3?42∴f(x)min???a2?2,?3?a?3?????????????????????2210分
??73?2a2?3a?4,a?2⑶方程f(x)?2a2有解，即方程t2?2at?2?0在[?32,32]上有解，而t?0 ∴2a?t?2t，????????????????????????????12分 可证明t?23t在(0,2)上单调递减，(2,2)上单调递增??????????14分
t?2t?22 t?2t为奇函数，∴当t?(?32,0)时t?2t??22
∴a的取值范围是(??,?22]?[22,??)．??????????????16分 20、(1)设x＜0，则－x＞0，由于F(x)为R上的奇函数，所以F(x)＝－F(－x)＝－log2(4
－x
＋1)，所以
x＜0时，F(x)＝－log－x
2(4
＋1)； 4分
(2)因为f(x)＝log2(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立， 6分 即log2(4
－x
＋1)－kx＝log2(4x＋1)＋kx恒成立，所以k＝－1． 8分
(3)由于a＞0，所以g(x)＝log44
2(a?2x－3a)定义域为(log23
，＋∞)，
3
4
也就是满足2x＞．
3
因为函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，
44
所以方程log2(4x＋1)－x＝log2(a?2x－a)在(log2，＋∞)上只有一解，
33
4x＋144
即方程x＝a?2x－a在(log2，＋∞)上只有一解． 10分
233令2x＝t，则t＞4
3
，因而等价于关于t的方程
(a－1)t2－43at－1＝0 (*)在(4
3
，＋∞)上只有一解．
①当a＝1时，解得t＝－34∈／(4
3，＋∞)，不合题意； ②当0＜a＜1时，记h(t)＝(a－1)t2－43at－1，其图象的对称轴t＝2a
3(a－1)＜0． 所以函数h(t)＝(a－1)t2－4
3
at－1在(0，＋∞)上递减，而h(0)＝－1，
所以方程(*)在(4
3，＋∞)无解． ③当a＞1时，记h(t)＝(a－1)t2－43at－1，其图象的对称轴t＝2a
3(a－1)＞0，
所以只需h(41616
3)＜0，即9(a－1)－9
a－1＜0，此式恒成立．
综上所述，所求a的取值范围为(1，＋∞)． 12分
14分
分
4
16
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