第十四章 一次函数
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示方法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例，用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组，课题学习“选择方案”．
函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际，而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数，它是学习其他函数的基础，所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要，应认真掌握．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的解析式．利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系，从而建立良好的知识联系．
【本章难点】1．根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式，会利用函数图象解决实际问题．
2．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系．
小结3 学法指导
1．注意从运动变化和联系对应的角度认识函数． 2．借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，通过函数应用举例，
体会数学建模思想．
3．注重数形结合思想在函数学习中的应用．
4．加强前后知识的联系，体会函数观点的统领作用．
5．结合课题学习，提高实践意识和综合应用数学知识的能力．
知识网络结构图
定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的 变量与函数 每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是 自变量，y是x的函数 函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法
定义：形如y＝kx(k≠0)的函数 正比例函数 性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时， y随x的增大而减小 定义：形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数 一次函数 一次函数 一次函数 性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时， y随x的增大而减小 待定系数法求函数关系式 函数与方程(组)、不等式之间的关系：当函数值是一个具体数值时，函数关系式 就转化为方程(组)：当函数值是一个范围
时，函数关系式就转化为不等式；两直线 的交点坐标就是二元一次方程组的解 一次函数的实际应用
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 函数自变量的取值范围
【专题解读】 一般地，求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式组下结论． 例1 函数y?1x?2中，自变量x的取值范围是 ( ) A．x≠0 B．x≠1
C．x≠2 D．x≠－2 分析 由x＋2≠0，得x≠－2．故选D． 例2 函数y?x?12?x中，自变量x的取值范围是 ( ) A．x≥－1 B．－1＜x＜2 C．－1≤x＜2 D．x＜2
分析 由??2?x＞0,?x＜2,?x?1?0,得??x??1,即－1≤x＜2．故选C．
专题2 一次函数的定义
【专题解读】 一次函数一般形如y＝kx＋b，其中自变量的次数为1，系数不为0，两者缺一不可．
例3 在一次函数y＝(m－3)xm－
1＋x＋3中，符x≠0，则m的值为 ．
分析 由于x≠0，所以当m－1＝0，即m＝1时，函数关系式为y＝x
＋1．当m－3＝0，即m＝3时，函数关系式为y＝x＋3；当m－1＝1，即m＝2时，函数关系式为y＝(m－2)x＋3，当m＝2时，m－2＝0，此时函数不是一次函数．所以m＝1或m＝3．故填1或3． 专题3 一次函数的图象及性质
【专题解读】 一次函数y＝kx＋b的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为????bk,0???，(0，b)．它的倾斜程度由k决定，b决定该直线与y轴交点的位置．
例4 已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点． (1)画出这个函数的图象； (2)求这个一次函数的解析式．
分析 已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式．
解：(1)图象如图14－104所示． (2)设函数解析式为y＝kx＋b，则??2k?b?5,?k?2,??k?b??1,解得??b?1,
所以函数解析式为y＝2x＋1．
二、规律方法专题
专题4 一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系 【专题解读】 可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程(组)的解也可确定一次函数表达武．
例5 如图14－105所示，已知函数y＝3x＋b和y＝ax
－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是 ．
分析 由图象知当x＞－2时，y＝3x＋b对应的y值大于y＝ax－3对应的y值，或者y＝3x＋b的图象在x＞－2时位于y＝ax－3的图象上方．故填x＞－2．
专题5 一次函数的应用
【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题．
例6 假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．
(1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间t(小时)之间的函数关系式； (2)画出函数的图象；
(3)这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时? 分析 由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值范围内)．
解：(1)设函数关系式为Q＝kt＋b(k≠0)．
由题意可知??28?2k?b,?k??6?22?3k?b,∴?,?b?40.
∴余没量Q与时间t之间的函数关系式是Q＝－6t＋40． ∵40－6t≥0，∴t≤
203． ∴自变量t的取值范围是0≤t≤203． (2)当t＝0时，Q＝40；当t＝
203时，Q＝0．
得到点(0，40)，(
203，0)． 连接两点，得出函数Q＝－6t＋40(0≤t≤203)的图象，如图14－106所示．
(3)当Q＝0时，t＝
203，那么203－3＝323 (小时)． ∴拖拉机还能耕地323小时，即3小时40分．
规律．方法 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的． 三、思想方法专题 专题6 函数思想
【专题解读】 函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．
例7 利用图象解二元一次方程组??2x?y?2,①?x?y??5.②
分析 方程组中的两个方程均为关于x，y的二元一次方程，可以转化
为y关于x的函数．由①得y＝2x－2，由②得y＝－x－5，实质上是两个y关于x的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解． 解：由①得y＝2x－2，
由②得y＝－x－5．
在平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x－2，y＝－x－5的图象，如图14－107所示．
观察图象可知，直线y＝2x－2与直线y＝－x－5的交点坐标是(－1，－4)．
∴原方程组的解是??x??1,?y??4.
规律·方法 解方程组通常用消元法，但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解．
例8 我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测
试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0．05 mL．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了y mL水． (1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)当滴了1620 mL水时，小明离开水龙头几小时?
分析 已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时＝3600秒，∴1小时滴水(3600×2)滴，又∵每滴水约0．05 mL，每小时约滴水3600×2×0．05＝360(mL)．
解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝360x(x≥0)． (2)当y＝1620时，有360x＝1620，∴x＝4．5．
∴当滴了1620 mL水时，小明离开水龙头4．5小时． 专题7 数形结合思想
【专题解读】 数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、
解决问题的一种思想方法．数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
例9 如图14－108所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．
分析 通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B点的坐标即可，因为OB＝OA＝2，所以点B的坐标为(0，－2)，再结合A点坐标，即可求出一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)．
∵OA＝OB，点A的坐标为(2，0)， ∴点B的坐标为(0，－2)．
∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y＝kx＋b， ∴??2k?b?0,?k??b??2,∴1,?0??b??2.
∴一次函数的解析式为y＝x－2．
【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用． 专题8 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法．分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法．分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象．分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．
例10 在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如
相关推荐：
loading