高等数学试题及答案
一、单项选择题（本大题共
5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，
请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。 1 ． 设 f(x)=lnx ， 且函数 (x) 的反函数
1(x)= 2(x+1) ，则
x-1
f (x) （
）
ln x-2
ln x+2
ln 2-x
ln x+2
A.
B.
C.
D.
x+2
x-2
x+2
2-x
0 et e t
2 dt
2． lim （
x ）
x
0
1 cos x
A． 0
B． 1
C． -1 D．
3 ．设 y f ( x0
x) f ( x0 ) 且函数 f ( x) 在 x
x0 处可导，则必有 （
）
A. lim y
0
B. y
0
C.dy 0
D. y
dy
x 0
2x2
, x 1 4 ．设函数 f(x)=
，则 f(x) 在点 x=1处（
）
3x 1,x 1
A.不连续
B.连续但左、右导数不存在
C.连续但
不可导
D. 可导
5．设 xf(x)dx=e -x 2
C ，则 f(x)= （
）
A.xe -x 2
B.-xe -x 2
C.2e -x 2
D.-2e -x 2 二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设函数
f(x) 在区间 [0， 1]上有定义，则函数 f(x+
1 )+f(x- )1 的定义域是
4
4
__________.
7． lim a aq
aq2 L aqn
q 1 _________
n
8． lim arctan x _________
x
x
9.已知某产品产量为 g 时，总成本是 C(g)=9+
g2
，则生产
100
800
件产品时的边际成本
MCg 100 __
10.函数 f (x) x3 2x 在区间 [0，1] 上满足拉格朗日中值定理的点
ξ是 _________.
11.函数 y 2x
3
9x
2
12x
9 的单调减少区间是 ___________.
12.微分方程 xy ' y 1
x3 的通解是 ___________. 2ln 2
dt
13.设
,则 a
___________.
a
et 1 6
2 14.设 z
cosx 则 dz=
_______.
y
15
设 D (x, y)
0 x 1,0
y 1 ，则 xe 2 y dxdy _____________.
D
三、计算题（一） （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
16.设 y
1 x
，求 dy.
x
17.求极限 lim ln cot x
x 0
ln x
18.求不定积分
1 dx.
5x
1 ln 5x 1
a 19.计算定积分 I=
a2 x2 dx.
0
20.2
设方程 x y 2xz ez 1确定隐函数 z=z(x,y)，求 z' x , z' y 。
四、计算题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
21．要做一个容积为 v 的圆柱形容器， 问此圆柱形的底面半径
r 和高 h 分
别为多少时，所用材料最省
22. 计算定积分
xsin2 xdx
0
23. 将二次积分 I
dx
sin y 2 dy 化为先对 x 积分的二次积分并计算其
0x y
值。
五、应用题（本题
9 分）
24.已知曲线 y
x2 ，求
（ 1）曲线上当 x=1 时的切线方程；
（ 2）求曲线 y x2 与此切线及 x 轴所围成的平面图形的面积，以及
其绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积
Vx .
六、证明题（本题 5 分）
25．证明：当 x>0 时， x ln( x 1 x2 )1 x2
1
参考答案
10 ．答案：
1 3
一、单项选择题（本大题共
5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1．答案： B
2．答案： A
3．答案： A
4．答案： C
5．答案： D
二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共6．答案：
1 ,
3
4 4
7．答案： a
1 q 8．答案： 0
9．答案：
1 4
30 分）11 ．答案：（ 1， 2）
12 ．答案：
x3 1 Cx
2
13 ．答案： a ln 2
14 ．答案：
1 sin 2xdx cos2 x dy
y
y
15 ．答案： 1 1 e 2
4
三、计算题（一） （本大题共 5 小题，每小题
x
16. 答案：
ln x 11
x
dx
17．答案： -1 18．答案：2
5
ln 5x 1 C
19. 答案： a2
4
5 分，共 25 分）
2 z'
25 ．证明：
20. 答案： Z'
x
2xy
， Zy x2
2x ez
2x ez 四、计算题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共
21 分）
3
V
21 ．答案： r0
0
V 3 4V
2 ，h
r0 2
2
22 ．答案：
4
23. 答案： 1
五、应用题（本题 9 分）
1 24. 答案：（ 1） y=2x-1 （ 2），
12
30
1
1
（2） 所求面积 S(
y
1 y)dy
1 y 2
2 1
3
y 23 12
1
0
2
4
0
1 2
所求体积 Vx
0 x2 dx
1 12 1 6
30
3
2 5
六、证明题（本题 5 分）
Q f (x) x ln( x
1 x2 )
1
x2 1 1
2x
f '(x) ln( x 1 x2 ) x
2 1 x2 x
x 1 x2
1 x2
ln( x 1 x2 ) x x 1
x2
1 x2
ln( x 1 x2 )
Q x 0
x 1 x2
1
f '(x)
ln( x
1 x2 ) 0
故当 x
0时 f ( x) 单调递增，则 f ( x)
f (0), 即
xln( x
1 x2 )
1 x2 1
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