第一章 随机事件与概率 （1）排列组 从m个人中挑出n个人进行排列得可能数。 合公式 从m个人中挑出n个人进行组合得可能数。 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法（2）加法与可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列与非重复排列（有序） （3）一些常对立事件（至少有一个） 见排列 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验得可能结果不止（4）随机试一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验与随机事验为随机试验。 件 试验得可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中得一个事件； ②任何事件，都就是由这一组中得部分事件组成得。 这样一组事件中得每一个事件称为基本事件，用 来表示。 （5）基本事件、样本空基本事件得全体，称为试验得样本空间，用 表示。 间与事件 一个事件就就是由 中得部分点（基本事件 ）组成得集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们就是 得子集。 为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）得概率为零，而概率为零得事件不一定就是不可能事件；同理，必然事件（Ω）得概率为1，而概率为1得事件也不一定就是必然事件。 ①关系： （6）事件得如果事件A得组成部分也就是事件B得组成部分，（A发生必有事件B关系与运算 发生）： 如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生得事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B得部分所构成得事件，称为A与B得差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生得事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件就是互不相容得。 -A称为事件A得逆事件，或称A得对立事件，记为 。它表示A不发生得事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ， 设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率得公理化定义 3° 对于两两互不相容得事件 ， ，…有 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件 得概率。 1° ， 2° 。 （8）古典概设任一事件 ，它就是由 组成得，则有 型 P(A)= = 若随机试验得结果为无限不可数并且每个结果出现得可能性均匀，同时（9）几何概样本空间中得每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， 型 。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 公式 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法P(A-B)=P(A)-P(AB) 公式 当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P( )=1- P(B) 定义 设A、B就是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生得条件概率，记为 。 （12）条件概率 条件概率就是概率得一种，所有概率得性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) 乘法公式： （13）乘法更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 公式 … …… … 。 ①两个事件得独立性 设事件 、 满足 ，则称事件 、 就是相互独立得。 若事件 、 相互独立，且 ，则有 若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。 必然事件 与不可能事件?与任何事件都相互独立。 （14）独立?与任何事件都互斥。 性 ②多个事件得独立性 设ABC就是三个事件，如果满足两两独立得条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件 满足 1° 两两互不相容， ， （15）全概2° ， 公式 则有 。 （16）贝叶设事件 ， ，…， 及 满足 斯公式
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