专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题
一．方法综述
数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数列中的恒成立问题
【例1】【2018河南省豫南豫北联考二】数列?an?满足a1?a?16,an?n?1n?N*，若对n?N*，都有5an?1??k?111????成立，则最小的整数k是（ ） a1a2anA. 3 B. 4 C. 5 D. 6
1
又对n?N*，都有k?111????成立， a1a2an∴k?5.故最小的整数k是5.选C. 【答案】C
【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是如何对
111111，可利用列项相消求和，在求得????求和，根据题目的条件经过变形得到??a1a2ananan?1an?1?1数列和的基础上可得到k的取值范围，解题时要注意等号是否可以取得.
【举一反三】【2017陕西洛南永丰中学高三月考】已知数列?an?的首项a1?a，其前n项和为Sn，且满足
Sn?Sn?1?4n2?n?2,n?N??，若对任意n?N?,an?an?1恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．?3,5? B．?4,6? C．?3,5? D．?4,6?
【答案】A
类型二 数列中的最值问题
【例2】【辽宁省葫芦岛第六高级中学2018届高三上学期第二次阶段（期中）】已知数列?an?的前n项和
2
?1??1?Sn,a1?0且a2an?S2?Sn，对一切正整数n都成立，记??的前n项和为Tn，则数列?Tn??中的最
Tn??an??大值为（ ） A. 22 B. ? C. 2 D. ?2 22
当n为奇数时， Tn随n的增大而增大，所以T1=-2?1?Tn??2,??2?Tn?12 ??Tn2当n为偶数时， Tn随n的增大而减小，所以?2?Tn?T1??2212 ,???Tn??22Tn2综上，当n?N时，总有?2?Tn?故选A 【答案】A
*12 ?Tn2 3
【指点迷津】本题利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中根据n的奇偶判断Tn的单调性是解题的关键
【举一反三】【2017届安徽省宣城市高三下学期第二次调研】设数列?an?为等差数列， Sn为其前n项和，若S1?13， S4?10， S5?15，则a4的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. ?7 D. ?5
【答案】B
类型三 数列性质的综合问题
【例3】【福建省福州市闽侯第六中学2018届高三上学期期中考试】若数列?an?满足： a1?0且
?8?an?an?1?2n?1?n?N*,n?2?，数列?bn?满足bn?an?1?an?1?1????11?为第__________项．
*【解析】由a1?0，且an?an?1?2n?1n?Nn,?n?1，则数列?bn?的最大项
??2，得an?an?1?2n?1?n??2，
则
a2?a1?2?2?1a,3?a2?2?3?a14,a3??2，?4 ?1a,n?.a.n?.1?2n?1?n?2?，累加得
，
n?1an??2?3?...?n???n?1??2??n?2??n?1??n?1?n2?12?8??bn?an?1?an?1?1????11?n?1?8??n??n?1?????11?22n?1?8? ?n?n????11??2?，由{bn?bn?1 ，得
bn?bn?1 4
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