《集合与常用逻辑用语》考试知识点
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
20”的否定为“?x?[0,1]，都有x2?1?0 ” A．命题“?x0?[0,1]，使x0?1…B．命题“若向量a与b的夹角为锐角，则a·b?0”及它的逆命题均为真命题 C．命题“在锐角VABC中，sinA?cosB”为真命题
D．命题“若x2?x?0，则x?0或x??1”的逆否命题为“若x?0且x??1，则
vvvvx2?x?0”
【答案】D 【解析】 【分析】
对于A选项，利用特称命题的否定即可判断其错误．
对于B选项，其逆命题为“若a·b?0，则向量a与b的夹角为锐角”，
rrrrrrrr?????0,?，所以该命题错误，所以Ba·bcos??0由a·，可得cos??0，则b?0得：??2?错误．
对于C选项，A?B?以C错误． 故选D 【详解】
20”的否定应为“?x?[0,1]，都有x2?1?0”，所以A错误； 命题“?x0?[0,1]，使x1?1…?2??2?A??????B?0，可得sinA?sin??B??cosB，所2?2?rrrr命题“若向量a与b的夹角为锐角，则a·b?0”的逆命题为假命题，故B错误；
锐角VABC中，A?B?∴sinA?sin?故选D. 【点睛】
?2??2?A??2?B?0，
????B??cosB，所以C错误， ?2?本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题．
2．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
Q点P不在直线l、m上，
?若直线l、m互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平
行，即必要性成立，
若过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，则直线l、m互相平行成立，反证法证明如下：
若直线l、m互相不平行，则l，m异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的充要条件， 故选：C． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
3．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p：?x0?(1,??)，
x0?0，则?p：?x?(1,??)，x?0； x0?2x?2②p?q为真命题是p?q为真命题的充分不必要条件； ③若ac2?bc2，则a?b的逆命题为真命题； A．3 【答案】C 【解析】 【分析】
对三个命题逐一判断即可. 【详解】
B．2
C．1
D．0
，???，①中?p：?x??1②为真命题；
x?0或x?2，所以①为假命题； x?2③中逆命题为：若a?b，则ac2?bc2，若c为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C. 【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
4．已知集合A?xx?2x?3?0，B?xlg?x?1??1，则eRAIB?（ ）
2????????C．?x?1?x?3?
【答案】C 【解析】 【分析】
A．x?1?x?3
??D．?x?1?x?9?
B．x?1?x?9
解出集合A、B，再利用补集和交集的定义得出集合eRA?B. 【详解】
解不等式x2?2x?3?0，得x??1或x?3；
解不等式lg?x?1??1，得0?x?1?10，解得?1?x?9.
???A?xx?1或x3，B??x?1?x?9?，则eRA??x?1?x?3?，
因此，eRA?B?x?1?x?3，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
??????
5．a??12是函数f(x)?ax?x?1有且仅有一个零点的（ ） 4B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
A．充分不必要条件 条件 【答案】A 【解析】 【分析】
1代入函数证明充分性，取a?0得到不必要，得到答案. 4【详解】
将a??11?1?当a??时，f(x)??x2?x?1???x?1??0，x??2，充分性； 44?2?当a?0时，f(x)??x?1?0，x??1，一个零点，故不必要. 故选：A. 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
2
6．已知集合A．【解析】
B．
C．
【答案】C
，则
D．
( )
【分析】 由题意，集合【详解】 由题意，集合
，
所以【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合础题.
，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
，故选C.
，
，
，再根据集合的运算，即可求解.
7．下列命题为真命题的个数是（ ） ①?x?xx是无理数}，x2是无理数；
rrrrrr②若a?b?0，则a?0或b?0；
ex?e?x④函数f?x??是偶函数.
xA．1 【答案】B 【解析】 【分析】
B．2
?③命题“若x2?y2?0，x?R，y?R，则x?y?0”的逆否命题为真命题；
C．3 D．4
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x?2时，x2?2为有理数，故①错误；
rrrrrrrr对于②中，若a?b?0，可以有a?b，不一定要a?0或b?0，故②错误；
22对于③中，命题“若x?y?0，x?R，y?R，则x?y?0”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
e?x?exex?e?x对于④中，f??x????f?x?，
?xx且函数的定义域是(??,0)U(0,??)，定义域关于原点对称， ex?e?x所以函数f?x??是偶函数，故④正确.
x综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
8．已知集合A?xlog2x?1，B?xx?1，则AUB?（） A．?1,2 【答案】D 【解析】 【分析】
解出对数不等式可得集合A，根据并集的运算即可得结果. 【详解】
由A?xlog2x?1?xx?2，B?xx?1，则AUB?1,???， 故选D. 【点睛】
本题主要考查了对数不等式的解法，并集的概念，属于基础题.
?????B．?1,???
C．?1,2? D．1,??? ????????
9．已知集合M?y|y?3A．{x|0?x?1} 【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合M,N，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合M?y|y?3?x?，N?{x|y?1?x}，则MIN?（ ）
C．{x|x?1}
D．{x|x?0}
B．{x|0?x?1}
?x??{y|y?0},N?{x|y?1?x}?{x|x?1}，
所以M?N?{x|0?x?1}. 故选：B． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合M,N是解答的关键，着重考查了计算能力．
10．下列四个命题中真命题的个数是
①命题“若x2?3x?4?0,则x??1?的逆否命题为“若x??1,则x2?3x?4?0?； ②命题“?x?R,cosx?1?的否定是“?x0?R,cosx0?1? ③命题“?x?(??,0)，2x?3x”是假命题.
④命题p:?x?1,???,lgx?0\，命题q:?x?R,x2?x?1?0，则p?q为真命题 A．1
B．2
C．3
D．4
?
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