最新考研数学线性代数复习要点同济大学第五版汇总

2013年考研数学线性代数复习要点同济大

学第五版

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2013年线性代数复习要点 同济大学第五版 免费

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0??n???,Ax??总有唯一解 ??ATA是正定矩阵 ??A?E ?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合○

n叫做n维向量空间.

?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关

?0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n ?注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解 ○

??=-a b?向量组等价??矩阵等价(?)?具有?反身性、对称性、传递性 ????矩阵相似()?矩阵合同()??√ 关于e1,e2,???,en：

①称为

n的标准基，

n中的自然基，单位坐标向量p教材87；

②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.

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行列式的定义 Dn?a11a21a12a22a1na2nann?j1j2?(?1)?(j1j2jnjn)a1j1a2j2anjn

an1an2√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

AO②若A与B都是方阵（不必同阶）,则

OB=A?OB?AO?B?AB（拉普拉斯展开式）

OA?A=?(?1)mnABBOBO③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?④关于副对角线：

a1na2n?1?OOa2n?1an1a1n?(?1)On(n?1)2a1na2nan1 （即：所有取自

an1不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）

1x1⑤范德蒙德行列式：x12x1n?11x22x2n?1x21xn2?xnn?1xn1?j?i?n??x?x?

ij?a11a12?aa22矩阵的定义 由m?n个数排成的m行n列的表A??21???am1am2A??aij?m?na1n??a2n?称为m?n矩阵.记作：??amn?或Am?n

伴随矩阵 A*??Aij?T?A11?A??12???A1nA21A22A2nAn1??An2?，Aij为A中各个元素的代数余子式. ??Ann?仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8

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√ 逆矩阵的求法:

主?ab?1?d?b?A注： ① A?1? ○ ?????ad?bc??ca?A副?cd??初等行变换?(EA?1) ②(AE)?????1换位变号

?a1?③???a2?11?a?1??????a3????1a2????? ???a1??3a3?a2?1?a1????????1?a??11a31a2??? ???√ 方阵的幂的性质：AmAn?Am?n (Am)n?(A)mn

√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，

则AB?Cm?s?b11b12?b21b22????1,?2,???,?n????bn1bn2b1s??b2s???c1,c2,??bns?,cs??A?i?ci ，(i?1,2,,s)??i为

Ax?ci的解?A??1,?2,???,?s???A?1,A?2,???,A?s???c1,c2,,cs??c1,c2,,cs可由?1,?2,???,?n线

性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，AT为系数矩阵.

?a11a12?aa22即： ?21???an1an2a1n???1??c1??a11?1?a12?2???????a??a??a2n???2??c2?????211222????????????amn???n??cm??am1?1?am2?2??a1n?2?c1?a2n?2?c2?amn?2?cm

√ 用对角矩阵?○左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量； 用对角矩阵?○右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

?AB??AT√ 分块矩阵的转置矩阵：????TCD???B?A?1?A?分块矩阵的逆矩阵：????B????1TCT? T?D??? ??B?1??BA??????1??A?1B?1?? ?仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9

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?A?1?AC?????OB???O?1?A?1A?1CB?1?O??AO?? ???1?1? ??CBB??BCAB?????1?A分块对角阵相乘：A??11???B11,B???A22??*??B22??AB?AB??1111?*n?n?A11?,A??A22B22??? n?A22??A??BA*分块对角阵的伴随矩阵：????B????? ??AB*??BA?????mn????(?1)BA(?1)mnAB???? ?√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B

初等行变换?(EX) (I)的解法：构造(AB)????(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT，

T 用(I)的方法求出X，再转置得X① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.

⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10