刍议数学教材编写中的“混而不错” - 图文

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刍议数学教材编写中的“混而不错”

作者：任念兵

来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第06期

苏步青先生是20世纪对中国数学教育影响重大的数学大家，他亲临中小学第一线，为中学数学教师授课.在上世纪60年代主持编写上海市中学数学教材时，苏先生提出中小学教材可以“混而不错”的原则，率先放弃几何公理的独立性，增设了几何公理，强调代数与几何的融合.“混而不错”的教学理念，破除了过度形式主义的枷锁，有利于“与时俱进”地引入现代化的数学思想[1].高中数学课程标准也指出：“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表述，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的.因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质.”从上述论断中不难体会，适度地形式化是中学数学教材编写和数学教学实践的基本准则，“混而不错”是适度形式化、部分数学内容非形式化的经典论断.

笔者在教学实践中强烈地感受到“混而不错”原则的重要价值，下面结合学习相关文献的体会，以沪教版高中数学教材为例，谈谈笔者对“混而不错”的肤浅认识. 1 “混而不错”的理论支撑和实践背景

“混”，就是非形式化的意思，是数学教育中采用的非形式化方法.从数学概念和原理的发生发展的历史来看，很多概念都经历了漫长的演变过程.比如，牛顿、莱布尼茨时代的微积分没有形式化，微积分从非形式化的直观语言发展到ε-N，ε-δ的形式语言经历了两个世纪.认知的历史发生原理表明，学生学习数学的认知过程与数学发展过程史存在一定的联系，对于某些内容两者确实存在较强的同构关系.所以，在高中有限的学习时间里介绍极限概念和微积分，不得不用非形式化方法进行处理，沪教版高中数学教材中在数列极限部分就没有引入ε-N语言，而是借助于直观的语言描述极限概念.

“混而不错”与陈重穆先生提出的“淡化形式，注重实质”有异曲同工之妙，两者其实都是关注于数学思想的发生和发展，而形式化、严格化则是后来用逻辑整理历史的结果.因此，在编写教材时本着以史为鉴的原则，就应该对某些教学难点问题采取“混而不错”的非形式化处理方法.可以说，数学发展史是“混而不错”的理论支撑.

张奠宙教授认为，随着教育的普及，数学课程成为人人必修的科目，“简单化”的大众数学也就随之而来[2].这就要求我们在教材编写和教学实践中采取适当的非形式化方法深入浅出地处理某些数学内容，让学生容易接受，例如长度、面积、体积的概念，只能模糊地描述，总不能要求中小学生去理解“某集合类上定义的有限可加、运动不变的正则测度”.所以说，大众数学是“混而不错”的实践背景.